Problem archive/8/8.2.tex

Algebra
← Back
\fontsize{15}{15}\selectfont

Problem Statement

Rozwiąż $$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}},\quad x\in\mathbb{R}$$
Solution:
Przekształćmy: \begin{align*} x&=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\\ x - \sqrt{1-\frac{1}{x}}&=\sqrt{x-\frac{1}{x}}\\ x^2 - 2x\sqrt{1-\frac{1}{x}} + \left(1-\frac{1}{x}\right) &=x-\frac{1}{x}\\ x^2 - x + 1 &=2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}\\ x^2 - x + 1 &=2\sqrt{x^2-x} \end{align*}
Niech $u = x^2-x$. Wtedy: \begin{align*} x^2 - x + 1 &=2\sqrt{x^2-x} \\ u + 1 &=2\sqrt{u} \\ u - 2\sqrt{u} + 1 &=0 \\ \left(\sqrt{u} - 1\right)^2 &=0 \\ \sqrt{u} - 1 &=0 \\ u &= 1 \\ x^2-x &= 1 \\ x^2-x-1 &= 0 \\ x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} &\vee x = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{align*}
Ale popatrzmy na to, które $x$ są dobre. Skoro w pierwotnym równaniu mamy wyrażenia pod pierwiastkiem, to muszą być one $\geq 0$: \begin{align*} x-\frac{1}{x} \geq 0 &\wedge 1 - \frac{1}{x} \geq 0 \\ \Rightarrow \boxed{x\geq 1} & \end{align*}
$$\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618 \quad \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0,618$$
Jak widać to drugie rozwiązanie nie jest $\geq1$, czyli nie jest dobre.
Tylko pierwsze jest dobre.
Odpowiedź: $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. 
% Algebra

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{8.2}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Rozwiąż $$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}},\quad x\in\mathbb{R}$$

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Przekształćmy:
\begin{align*}
    x&=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\\
    x - \sqrt{1-\frac{1}{x}}&=\sqrt{x-\frac{1}{x}}\\
    x^2 - 2x\sqrt{1-\frac{1}{x}} + \left(1-\frac{1}{x}\right) &=x-\frac{1}{x}\\
    x^2 - x + 1 &=2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}\\
    x^2 - x + 1 &=2\sqrt{x^2-x}
\end{align*}

Niech $u = x^2-x$. Wtedy:
\begin{align*}
    x^2 - x + 1 &=2\sqrt{x^2-x} \\
    u + 1 &=2\sqrt{u} \\
    u - 2\sqrt{u} + 1 &=0 \\
    \left(\sqrt{u} - 1\right)^2 &=0 \\
    \sqrt{u} - 1 &=0 \\
    u &= 1 \\
    x^2-x &= 1 \\
    x^2-x-1 &= 0 \\
    x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} &\vee x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{align*}

Ale popatrzmy na to, które $x$ są dobre. Skoro w pierwotnym równaniu mamy wyrażenia pod pierwiastkiem, to muszą być one $\geq 0$:
\begin{align*}
x-\frac{1}{x} \geq 0 &\wedge 1 - \frac{1}{x} \geq 0 \\
\Rightarrow \boxed{x\geq 1} &
\end{align*}

$$\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618 \quad \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0,618$$

Jak widać to drugie rozwiązanie nie jest $\geq1$, czyli nie jest dobre.

Tylko pierwsze jest dobre.

\textbf{Odpowiedź:} $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

\end{document}
Generated from: ./archive/8/8.2.tex