Problem archive/8/8.3.tex

% Algebra, Integers, DiophantineEquations

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{8.3}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Rozwiąż:
$$x+y=(x-y)^2,\quad x,y\in\mathbb{Z}$$

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\textbf{Sposób 1:}

Najpierw przekształćmy:
\begin{align*}
    x+y&=(x-y)^2\\
    x^2-2xy+y^2&=x+y\\
    x^2-2xy+y^2-x-y&=0\\
    x^2-x(2y-1)+y^2-y&=0
\end{align*}

Rozwiążmy to równanie kwadratowe względem $x$:
\begin{align*}
    x &= \frac{2y + 1 \pm \sqrt{\left(2y+1\right)^2-4\left(y^2-y\right)}}{2} \\
    x &= \frac{2y + 1 \pm \sqrt{4y^2+4y+1-4y^2+4y}}{2} \\
    x &= \frac{2y + 1 \pm \sqrt{8y+1}}{2} \in \mathbb{Z}
\end{align*}

Skoro $x \in \mathbb{Z}$ to w szczególności to po prawej stronie też musi być $\in\mathbb{Z}$. Więc w szczególności musi być, że $\sqrt{8y+1}\in\mathbb{Z}$. 

Czyli to co "w środku" pierwiastka ma być kwadratem liczby całkowitej:
$$\sqrt{8y+1}=z \Rightarrow 8y + 1 = z^2, \quad z\in\mathbb{Z}$$

Ale dodatkowo $8y+1$ to liczba nieparzysta, więc $z$ też jest nieparzysty, przeto zapiszmy $z$ jako: $z = 2n - 1$, gdzie $n\in\mathbb{Z}$.

Czyli podziałajmy:
\begin{align*}
    8y+1&=(2n-1)^2\\
    8y+1&=4n^2-4n+1\\
    y&=\frac{4n^2-4n}{8}\\
    y&=\frac{n^2-n}{2}
\end{align*}

Wstawmy teraz do $y$ do wyrażenia z $x$:
\begin{align*}
    x &= \frac{2y + 1 \pm \sqrt{8y+1}}{2}\\
    x &= \frac{n^2-n+1 \pm \sqrt{4n^2-4n+1}}{2}\\
    x &= \frac{n^2-n+1 \pm \sqrt{\left(2n-1\right)^2}}{2}\\
    x &= \frac{n^2-n+1 \pm \left(2n-1\right)}{2}\\
    x = \frac{n^2-n+1 + \left(2n-1\right)}{2} &\vee x = \frac{n^2-n+1 - \left(2n-1\right)}{2}\\
    x = \frac{n^2+n}{2} &\vee x = \frac{n^2-3n+1}{2}
\end{align*}

Ale tak iście, zastanówmy się czy są to różne rozwiązania?

Jeśli w pierwszym za $n$ podstawimy: $n=-(d-1)$, $d\in\mathbb{Z}$, to otrzymamy:
$$ \frac{n^2+n}{2} = \frac{\left(d-1\right)^2 - d + 1}{2} = \frac{d^2-2d+1 - d + 1}{2} = \frac{d^2-3d+1}{2}$$

Czyli zauważmy, że jest to tak naprawdę jedno i to samo, tylko przeskalowane o "coś". Ale skoro my rozważamy wszystkie liczby całkowite to nam to nie zmienia wyniku (nic nie dodaje, nic nie zabiera).

Czyli ostatecznie możemy powiedzieć, że:
$$(x,y)=\left(\frac{n^2+n}{2}, \frac{n^2-n}{2}\right), \quad n\in\mathbb{Z}$$

\textbf{Odpowiedź:} $(x,y)=\left(\frac{n^2+n}{2}, \frac{n^2-n}{2}\right), \quad n\in\mathbb{Z}$

\textbf{Sposób 2:}

Niech $x-y = k \in\mathbb{Z}$.

Wtedy:
$$
\begin{cases}
    x+y=k^2, \quad \text{(oryginalne równanie)} \\
    x-y=k
\end{cases}
$$

Dodając stronami dostajemy:
$$2x = k^2 + k \Rightarrow x = \frac{k^2+k}{2}$$

Podstawiając tego $x$ do pierszego dostaniemy:
$$\frac{k^2+k}{2}+y=k^2 \Rightarrow y = \frac{k^2-k}{2}$$

Czyli ostatecznie możemy powiedzieć, że:
$$(x,y)=\left(\frac{k^2+k}{2}, \frac{k^2-k}{2}\right), \quad k\in\mathbb{Z}$$

\textbf{Odpowiedź:} $(x,y)=\left(\frac{k^2+k}{2}, \frac{k^2-k}{2}\right), \quad k\in\mathbb{Z}$

\end{document}