Problem archive/8/8.4.tex

% Calculus, Integration, Substitution, TrigonometricSubstitution, HyperbolicFunctions

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\newcommand{\arcsinh}{\operatorname{arcsinh}}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{8.4}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Oblicz:
$$\int\sqrt{x^2+1}\,dx$$

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\textbf{Sposób 1}; Niech $t = \sqrt{x^2+1}-x$. Wtedy:
\begin{align*}
    t + x &= \sqrt{x^2+1} \\
    t^2 + 2tx + x^2 &= x^2+1 \\
    2tx &= 1 - t^2 \\
    x &= \frac{1 - t^2}{2t} \\
    x &= \frac{1}{2t} - \frac{t}{2} \\
    d(x) &= d\left(\frac{1}{2t} - \frac{t}{2}\right) \\
    dx &= \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{t^2}-\frac{1}{2}\right)dt 
\end{align*}

Podstawmy te wartości do naszej całki:
\begin{align*}
    \int\sqrt{x^2+1}\,dx &= \int\left(x+t\right)\left(\frac{-1}{2t^2} - \frac{1}{2}\right)\,dt \\
    &= \int\left(\frac{1}{2t} - \frac{t}{2}+t\right)\left(\frac{-1}{2t^2} - \frac{1}{2}\right)\,dt \\
    &= \int\left(\frac{1-t^2}{2t}+t\right)\left(\frac{-1-t^2}{2t^2}\right)\,dt \\
    &= -\int\left(\frac{1+t^2}{2t}\right)\left(\frac{1+t^2}{2t^2}\right)\,dt \\
    &= -\int\left(\frac{\left(1+t^2\right)^2}{4t^3}\right)\,dt \\
    &= -\int\left(\frac{1+2t^2+t^4}{4t^3}\right)\,dt 
\end{align*}

Dalsze obliczenia na następnej stronie:

\begin{align*}
    &= -\int\left(\frac{1+2t^2+t^4}{4t^3}\right)\,dt \\
    &= \frac{-1}{4}\int\left(\frac{1}{t^3}+\frac{2}{t}+t\right)\,dt \\
    &= \frac{-1}{4}\left(\frac{1}{-2t^2}+2\ln|t|+\frac{1}{2}t^2\right) \\
    &=\frac{1}{8t^2}-\frac{1}{2}\ln|t|-\frac{1}{8}t^2 \\
\end{align*}

I jeśli podstawimy teraz za $t$ wyrażenie z $x$, któremu jest równe z definicji to po kilku żmudnych przekształceniach algebraicznych w końcu dojdziemy do tego wyniku:

$$\int\sqrt{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+C,\quad C\in\mathbb{R}$$

Przy czym przy $\ln$ nie potrzebujemy wartości bezwzględnej, ponieważ:
$$\sqrt{x^2+1} > \sqrt{x^2} = |x| \geq x$$

\textbf{Odpowiedź:}$\int\sqrt{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+C,\, C\in\mathbb{R}$.

\textbf{Sposób 2:}

Niech $x = \tan\theta$. Wtedy $dx = \sec^2\theta\,d\theta$.

Zauważmy, że wtedy:
$$\sqrt{x^2+1} = \sqrt{\tan^2\theta + 1} = \sqrt{\sec^2\theta} = \sec\theta$$

Podstawiając do całki:
\begin{align*}
    \int\sqrt{x^2+1}\,dx &= \int \sec\theta \sec^2\theta\,d\theta\\
    &= \int \sec^3\theta\,d\theta
\end{align*}

A to jest klasyczna całka:
$$
    \int \sec^3\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta+\frac{1}{2}\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C
$$

Cofając podstawienie:

$$
    = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+C
$$

\textbf{Sposób 3:}

Niech $x = \sinh u$. Wtedy $dx = \cosh u\,du$.

Wtedy:
$$\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\sinh^2u+1}=\sqrt{\cosh^2u} = \cosh u$$

Podstawiając do całki:
$$\int\sqrt{x^2+1}\,dx = \int\cosh u\cdot\cosh u\,du = \int\cosh^2u\,du$$

Znana jest tożsamość:
$$\cosh^2u=\frac{1+\cosh2u}{2}$$

Czyli dostaniemy:
$$\int\cosh^2u\,du = \frac{1}{2}\int1\,du+\frac{1}{2}\int\cosh2u\,du=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sinh(2u) + C$$

Teraz cofnijmy się w podstawieniu korzystając z definicji: 
$$x=\sinh u \Rightarrow u=\arcsinh x = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$

Oraz:
$$\sinh(2u) = 2\sinh u\cosh u = 2x\sqrt{x^2+1}$$

Czyli dostaniemy końcowy wynik taki sam jak w poprzednich przypadkach.

\vspace{1cm}
\textbf{P.S.}
Z definicji funkcji hiperbolicznej:
\[
\cosh u = \sqrt{1 + \sinh^2 u} = \sqrt{1 + x^2}
\]

\end{document}