Problem archive/8/8.5.tex

Algebra
← Back
\fontsize{14}{14}\selectfont

Problem Statement

Rozwiąż równanie: $$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{2+\sqrt{3}},\quad a,b\in\mathbb{Q}$$
Solution:
Podnieśmy do kwadratu nasze równanko: \begin{align*} \sqrt{a} + \sqrt{b} &= \sqrt{2+\sqrt{3}} \\ a + b + 2\sqrt{ab} &= 2+\sqrt{3} \end{align*}
Jako, iż $a,b\in\mathbb{Q}$ to możemy powiedzieć, że: $$ \begin{cases} a+b=2\\ 2\sqrt{ab}=\sqrt{3} \end{cases} $$
Czyli zajmijmy się najpierw tym: \begin{align*} 2\sqrt{ab} &= \sqrt{3} \\ \sqrt{ab} &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\ ab &= \frac{3}{4} \end{align*}
A z pierwszego równania tam powyżej dostajemy, że $$a=2-b$$
Więc podstawmy to $a$ do tego co nam wyszło: \begin{align*} (2-b)b&=\frac{3}{4}\\ 2b-b^2&=\frac{3}{4}\\ b^2-2b+\frac{3}{4}&=0\\ b&=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot\frac{3}{4}}}{2}\\ b&=\frac{2\pm1}{2}\\ \end{align*}
Potem podstawiając obie wartości $b$ otrzymujemy:
Odpowiedź: $(a,b)\in\left\{\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right),\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}$. 
% Algebra

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{8.5}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{14}{14}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Rozwiąż równanie:
$$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{2+\sqrt{3}},\quad a,b\in\mathbb{Q}$$

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Podnieśmy do kwadratu nasze równanko:
\begin{align*}
    \sqrt{a} + \sqrt{b} &= \sqrt{2+\sqrt{3}} \\
    a + b + 2\sqrt{ab} &= 2+\sqrt{3}
\end{align*}

Jako, iż $a,b\in\mathbb{Q}$ to możemy powiedzieć, że:
$$
\begin{cases}
    a+b=2\\
    2\sqrt{ab}=\sqrt{3}
\end{cases}
$$

Czyli zajmijmy się najpierw tym:
\begin{align*}
    2\sqrt{ab} &= \sqrt{3} \\
    \sqrt{ab} &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\
    ab &= \frac{3}{4} 
\end{align*}

A z pierwszego równania tam powyżej dostajemy, że
$$a=2-b$$

Więc podstawmy to $a$ do tego co nam wyszło:
\begin{align*}
    (2-b)b&=\frac{3}{4}\\
    2b-b^2&=\frac{3}{4}\\
    b^2-2b+\frac{3}{4}&=0\\
    b&=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot\frac{3}{4}}}{2}\\
    b&=\frac{2\pm1}{2}\\
\end{align*}

Potem podstawiając obie wartości $b$ otrzymujemy:

\textbf{Odpowiedź:} $(a,b)\in\left\{\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right),\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}$.

\end{document}
Generated from: ./archive/8/8.5.tex