Problem archive/om/_76.1.1.tex

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Szablon LaTeX do rozwiązań zadań z Olimpiady Matematycznej %%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

% Tutaj można zmienić grubość marginesu.
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot, headheight=50pt, a4paper]{geometry}
\usepackage{polski}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Możesz dodać pakiety %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\usepackage{nazwa_pakietu}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Uzupełnij swoje dane %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\imieNazwisko}{Hostek}
\newcommand{\email}{email}
\newcommand{\nrzad}{1}

% Tutaj jest numeracja stron
\pagestyle{fancy}

\fancyhf{}
\lhead{\fontsize{12}{16}\selectfont
\noindent
\imieNazwisko\\
\email \\}
\chead{
\fontsize{22}{22}\selectfont
\textbf{Zadanie \nrzad}}
\cfoot{
Strona $\thepage$ z $\pageref{LastPage}$
}

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\begin{document}
\fontsize{18}{16}\selectfont
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% A tu jest tekst rozwiązania %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent
Dana jest funkcja \(f(x)=ax^2+bx+c\),  której wykres nie przecina osi odciętych. Wykazać, że \(a(2a + 3b + 6c) > 0\).

\hfill\break
\noindent
Rozpatrzmy dwa przypadki: 1) \(a>0\) ; 2) \(a<0\)

\hfill\break

1) Zauważmy, że skoro wykres funkcji nie przecina osi odciętych i \(a>0\), to mamy, że \(f(x) > 0\), ponieważ dla \(a>0\) parabolka ma ramiona skierowane w górę, przeto gdyby było dla jakiegokolwiek \(x\), że \(f(x) \leq 0\) to parabola byłaby przecięła oś odciętych.

Skoro \(f(x) > 0\) sprawdźmy dla pewnych \(x\) co otrzymamy:


\[ f(x) > 0 \Rightarrow f(0) > 0 \Leftrightarrow a\cdot0^2 + b\cdot0 + c > 0\Leftrightarrow c>0\]

\[  f(x) > 0 \Rightarrow f(1) > 0 \Leftrightarrow a\cdot1^2 + b\cdot1 + c > 0\Leftrightarrow a+b+c>0\]

\[ f(x) > 0 \Rightarrow f(\frac{1}{2}) > 0 \Leftrightarrow a\cdot(\frac{1}{2})^2 + b\cdot\frac{1}{2} + c > 0\Leftrightarrow \]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b+c>0\Leftrightarrow a+2b+4c>0\]

A więc otrzymujemy:


\[\left\{\begin{matrix}
c > 0
 \\
a + b + c > 0
 \\
a+2b+4c > 0
\end{matrix}\right.\]

Zsumowanie tych nierówności daje nam: 

\[2a+3b+6c > 0\]

A skoro \(a>0\) to, gdy przemnożymy nierówność przez \(a\) otrzymamy: 

\[a(2a + 3b + 6c) > 0\]


c.n.d

\hfill\break

2) Zauważmy, że skoro wykres funkcji nie przecina osi odciętych i \(a<0\), to mamy, że \(f(x) < 0\), ponieważ dla \(a<0\) parabolka ma ramiona skierowane w dół, przeto gdyby było dla jakiegokolwiek \(x\), że \(f(x) \geq 0\) to parabola byłaby przecięła oś odciętych.

Skoro \(f(x) < 0\) sprawdźmy dla pewnych \(x\) co otrzymamy:


\[ f(x) < 0 \Rightarrow f(0) < 0 \Leftrightarrow a\cdot0^2 + b\cdot0 + c < 0\Leftrightarrow c<0\]

\[  f(x) < 0 \Rightarrow f(1) < 0 \Leftrightarrow a\cdot1^2 + b\cdot1 + c < 0\Leftrightarrow a+b+c<0\]

\[ f(x) < 0 \Rightarrow f(\frac{1}{2}) < 0 \Leftrightarrow a\cdot(\frac{1}{2})^2 + b\cdot\frac{1}{2} + c < 0\Leftrightarrow \]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b+c<0\Leftrightarrow a+2b+4c<0\]

A więc otrzymujemy:


\[\left\{\begin{matrix}
c < 0
 \\
a + b + c < 0
 \\
a+2b+4c < 0
\end{matrix}\right.\]

Zsumowanie tych nierówności daje nam: 

\[2a+3b+6c < 0\]

A skoro \(a<0\) to, gdy przemnożymy nierówność przez \(a\) otrzymamy: 

\[a(2a + 3b + 6c) > 0\]


c.n.d



\end{document}