Problem assets/proof/fakcik/geometry/pole-czworokata.tex

\begin{redbox}{Dowód fakciku \ref{fakcik:pole-czworokata1}}
\begin{proof}
    Oznaczmy tak jak na rysunku \ref{fig:fakcik:pole-czworokata1}, tylko, że dodatkowo: $d_1 = a + b$, $d_2 = c + d$. 

    Punkt $K$ to przecięcie przekątnych.

    Po kolei obliczamy każde pole używając wzoru na pole trójkąta $P = \frac{1}{2}xy\sin\theta$ i własności $\sin\left(180^\circ-\beta\right) = \sin\beta$:
    $$P_{ABK} = \frac{1}{2}ac\sin\alpha$$
    $$P_{CDK} = \frac{1}{2}bd\sin\alpha$$
    $$P_{BKC} = \frac{1}{2}bc\sin\left(180^\circ - \alpha\right) = \frac{1}{2}bc\sin\alpha$$
    $$P_{AKD} = \frac{1}{2}ad\sin\left(180^\circ - \alpha\right) = \frac{1}{2}ad\sin\alpha$$

    Sumując to wszystko otrzymujemy:
    \begin{align*}
        P_{ABCD} =& \frac{1}{2}ac\sin\alpha + \frac{1}{2}bd\sin\alpha + \frac{1}{2}bc\sin\alpha + \frac{1}{2}ad\sin\alpha \\
        =&\frac{1}{2}\sin\alpha\left(ac + bd + bc + ad\right) \\
        =&\frac{1}{2}\sin\alpha\left(a\left(c+d\right) + b\left(c+d\right)\right) \\
        =&\frac{1}{2}\sin\alpha\left(\left(c+d\right)\left(a+b\right)\right) \\
        =&\frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha & \\
    \end{align*}
\end{proof}
\end{redbox}