Problem done/CZOM/72/Z8/72Z8.1.1.tex

% Algebra

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{72 CZOM, kat. Z8, etap 1, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{18}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Jsou dána tři navzájem různá čísla. Průměr průměru dvou menších čísel a průměru
dvou větších čísel je roven průměru všech tří čísel. Průměr nejmenšího a největšího čísla
je 2022.

Určete součet tří daných čísel.

\noindent\textbf{Po polsku:}

Dane są trzy wzajemnie różne liczby. Średnia arytmetyczna średniej arytmetycznej dwóch mniejszych liczb oraz średniej arytmetycznej dwóch większych liczb jest równa średniej arytmetycznej wszystkich trzech liczb. Średnia arytmetyczna najmniejszej i największej liczby wynosi 2022.

Wyznacz sumę trzech danych liczb.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Powiedzmy, że nasze liczby to: $a$, $b$, $c$; przy czym załóżmy, że:
\[
a < b < c
\]

Średnia arytmetyczna dwóch najmniejszych liczb jest równa:
\[
\frac{a+b}{2}
\]

Średnia arytmetyczna dwóch największych liczb jest równa:
\[
\frac{b+c}{2}
\]

Średnia arytmetyczna średniej arytmetycznej dwóch mniejszych liczb oraz średniej arytmetycznej dwóch większych liczb jest równa:
\begin{equation}
    \label{e1}
    \frac{\frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2}}{2}    
\end{equation}

Średnia arytmetyczna wszystkich trzech liczb jest równa:
\begin{equation}    
    \label{e2}
    \frac{a+b+c}{3}
\end{equation}

Średnia arytmetyczna najmniejszej liczby i największej liczby jest równa 2022:
\begin{equation}    
    \label{e3}
    \frac{a+c}{2} = 2022
\end{equation}

Z równania \eqref{e3} wynika, że suma najmniejszej liczby i największej liczby jest równa:
\begin{equation}
    \label{e4}
    a+c=4044
\end{equation}

Skoro \eqref{e1} równa się \eqref{e2} (z treści zadania) to zapiszmy:
\[
    \frac{\frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2}}{2} = \frac{a+b+c}{3} 
\]

Uprośćmy ułamek po lewej stronie:
\[
    \frac{\frac{a+b+b+c}{2}}{2} = \frac{a+b+c}{3} 
\]

Skupmy się na lewej stronie. Ułamek oznacza dzielenie, a dzielenie oznacza mnożenie przez odwrotność.
Po lewej stronie dzielimy przez dwa.
\[
    \frac{a+b+b+c}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a+b+c}{3} 
\]

Pomnóżmy ułamek po lewej stronie:
\[
    \frac{a+2b+c}{4} = \frac{a+b+c}{3} 
\]

Wiemy, że $a+c=4044$ \eqref{e4}. Dlatego wstawmy tę wartość po obu stronach równania:
\[
    \frac{2b+4044}{4} = \frac{b+4044}{3} 
\]

Rozdzielmy ułamki po obu stronach:
\[
\frac{2b}{4} + \frac{4044}{4} = \frac{b}{3} + \frac{4044}{3}
\]

Uprośćmy ułamki po obu stronach:
\[
\frac{b}{2} + 1011 = \frac{b}{3} + 1348
\]

Pogrupujmy (wyrażenia z $b$ na lewą stronę):
\[
\frac{b}{2} - \frac{b}{3} = 337
\]

Sprowadźmy do wspólnego mianownika:
\[
\frac{3b}{6} - \frac{2b}{6} = 337
\]

Zróbmy odejmowanie po lewej stronie:
\[
\frac{b}{6} = 337
\]

Pomnóżmy przez 6 obustronnie:
\[
b = 2022
\]

Skoro suma $a+c=4044$, to dodając do tego $b$ po obu stronach otrzymamy:
\begin{align*}
    a + c + b &= 4044 + b\\
    a + b + c &= 4044 + 2022\\
    a + b + c &= 6066
\end{align*}

\textbf{Odpowiedź: } suma wszystkich trzech liczb jest równa 6066.

\end{document}