Problem done/CZOM/73/B/73B.2.1.tex

% NumberTheory, Divisibility, Integers, DiophantineEquations

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{73 CZOM, kat. B, etap 2, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Přirozená čísla \(a\), \(b\), \(c\) jsou umístěna do kruhu jako na obrázku, přičemž každé číslo je dělitelem součtu dvou čísel s ním sousedících.\\
Kolik nejvíce z čísel \(a\), \(b\), \(c\) může být různých?

\noindent\textbf{Polski:}

Liczby naturalne \(a\), \(b\), \(c\) są rozmieszczone w okręgu jak na rysunku, przy czym każda z nich jest dzielnikiem sumy dwóch sąsiadujących z nią liczb.\\
Ile maksymalnie spośród liczb \(a\), \(b\), \(c\) może być różnych?

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.3\textwidth]{img/73B.2.1_i1.jpg}
    % \caption{Konfiguracja początkowa}
    % \label{fig:rys0}
\end{figure}

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Napiszmy sobie co dostajemy z tego rysunku:
\begin{equation}
\label{e0}
\begin{cases}
    a \mid (b+c) \\
    b \mid (a+b) \\
    c \mid (a+c) 
\end{cases}
\end{equation}

Z pierwszego równania w tym układzie otrzymujemy ($m\in\mathbb{N}$):
\begin{equation}
    \label{e1}
    b+c=ma
\end{equation}

Z pozostałych równości wynika odpowiednio, że:
$$
\begin{cases}
    b\mid a \\
    c\mid a
\end{cases}
$$

Ale z \eqref{e1} otrzymujemy: $b = ma-c$. Łącząc to z $b\mid a$ otrzymujemy, że:
\begin{equation}
    \label{e2}
    b\mid c
\end{equation}

Podobnie z \eqref{e1} otrzymujemy: $c = ma-b$. Łącząc to z $c\mid a$ otrzymujemy, że:
\begin{equation}
    \label{e3}
    c\mid b
\end{equation}

A z tego wynika, że:
$$
\begin{cases}
    b\mid c\\
    c\mid b\\
\end{cases}
\Rightarrow b=c
$$

Czyli na razie pokazaliśmy, że $b=c$, czyli mogą być co najwyżej dwie różne wartości, przy czym to $a$ ma być czymś innym niż $b=c$.

Jeśli weźmiemy przykładowo $b=c=1$, to otrzymamy coś takiego (podstawiając do \eqref{e0}):
$$
\begin{cases}
    a \mid 2 \\
    1 \mid (a+1) \\
    1 \mid (a+1) 
\end{cases}
$$

Zauważmy, że tutaj jedynym ograniczeniem jest $a\mid2$ co daje nam, że $a\in\left\{1,2\right\}$.

Ale w takim razie wybierzmy sobie $a=2$ i otrzymamy dzięki temu trójkę liczb $(a,b,c) = (2,1,1)$, która spełnia warunki zadania.

A skoro wcześniej pokazaliśmy, że może być co najwyżej dwie różne wartości liczb i udało nam się pokazać, że mogą być dwie różne wartości liczb, to to dowodzi, że maksymalnie dwie wartości liczb mogą być różne.

\textbf{Odpowiedź:}  Maksymalnie spośród liczb \(a\), \(b\), \(c\) może być dwie różne.

\end{document}