Problem done/CZOM/73/B/73B.2.3.tex

% Algebra, Symmetry, Equations

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{73 CZOM, kat. B, etap 2, zadanie 3}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Pro nenulová reálná čísla $a$, $b$, $c$ platí
$$a^2(b+c)=b^2(a+c)=c^2(a+b)$$

Určete všechny možné hodnoty výrazu
$$\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$

\noindent\textbf{Polski:}

Dla niezerowych liczb rzeczywistych $a$, $b$, $c$ zachodzi
$$a^2(b+c)=b^2(a+c)=c^2(a+b)$$

Wyznacz wszystkie możliwe wartości wyrażenia
$$\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Najpierw podziałajmy na równości $a^2(b+c)=b^2(a+c)$:
\begin{align*}
    a^2b+a^2c&=ab^2+b^2c \\
    a^2b-ab^2&=b^2c-a^2c \\
    ab(a-b)&=c(b^2-a^2) \\
    ab(a-b)&=c(b-a)(b+a) \\
    ab(a-b) + c(a-b)(b+a)&= 0\\
    (a-b)(ab+ac+bc)&= 0
\end{align*}

\begin{equation}
    \label{e1}
    (a-b)(ab+ac+bc) = 0
\end{equation}

Działając analogicznie na równości $b^2(a+c)=c^2(a+b)$:
\begin{equation}
    \label{e2}
    (b-c)(ab+ac+bc) = 0
\end{equation}

Dlatego rozważmy dwa przypadki:
\begin{enumerate}
    \item $ab+ac+bc \neq 0$
    \item $ab+ac+bc = 0$
\end{enumerate}

Czyli robimy najpierw pierwszy przypadek:

Skoro $ab+ac+bc \neq 0$ to z równości \eqref{e1} i \eqref{e2} wynika, że:
$$a=b=c$$

Podstawiając do naszego wyrażenia dostaniemy:
$$\frac{9a^2}{3a^2} = 3$$.

Czyli w tym przypadku otrzymujemy, że tylko wartość $3$ jest możliwa.

Teraz przejdźmy do drugiego przypadku:

Czyli mamy, że $ab+ac+bc = 0$.

Przekształćmy nasze wyrażenie przy pomocy wzoru skróconego mnożenia:
$$\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} = \frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)}{a^2+b^2+c^2}$$

Ale przecież $ab+ac+bc = 0$, to możemy to podstawić:
$$\frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)}{a^2+b^2+c^2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2} = 1$$

Czyli w tym drugim przypadku otrzymujemy, że może być tylko wartość $1$.

Podsumowując, łącząc dwa przypadki otrzymujemy, że przy danych założeniach
$$\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\in\left\{1,3\right\}$$.

\textbf{Odpowiedź:} $\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\in\left\{1,3\right\}$.

\end{document}