Problem done/CZOM/73/Z9/73Z9.2.1.tex

% Algebra, Integers

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{73 CZOM, kat. Z9, etap 2, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Na prohlídce obrazárny se sešla skupina chlapců a děvčat. Během prohlídky nikdo
nerušil a neodcházel. Po prohlídce odešlo 15 děvčat a v obrazárně tak zůstalo dvakrát více chlapců než děvčat. Následně odešlo 45 chlapců a v obrazárně zbylo pětkrát více děvčat než chlapců.

Kolik děvčat bylo v obrazárně během prohlídky?

\noindent\textbf{Polski:}

Podczas zwiedzania galerii zebrała się grupa chłopców i dziewcząt. Podczas zwiedzania nikt nie zakłócał i nie odchodził. Po zwiedzaniu odeszło 15 dziewcząt, a w galerii zostało dwa razy więcej chłopców niż dziewcząt. Następnie odeszło 45 chłopców i w galerii pozostało pięć razy więcej dziewcząt niż chłopców.

Ile dziewcząt było w galerii podczas zwiedzania?

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Oznaczmy przez $x$ liczbę chłopców, a przez $y$ liczbę dziewczyn na początku.

Z tego zdania: "Po zwiedzaniu odeszło 15 dziewcząt, a w galerii zostało dwa razy więcej chłopców niż dziewcząt." otrzymujemy:
\begin{equation}
\label{r1}
2(y-15) = x
\end{equation}

Z tego zdania: "Następnie odeszło 45 chłopców i w galerii pozostało pięć razy więcej dziewcząt niż chłopców." otrzymujemy:
\begin{equation}
\label{r2}
5(x-45) = y - 15
\end{equation}

Zauważmy te $y-15$ (bo już wcześniej wyszło 15 dziewczyn).

Okej, ale przemnóżmy \eqref{r2} przez dwa: otrzymamy $10x-2\cdot5\cdot5\cdot9 = 2(y - 15)$. Podstawiając to $2(y-15)$ do \eqref{r1}:
\begin{align*}
x&=10x-2\cdot5\cdot5\cdot9 \\
-9x&=-2\cdot5\cdot5\cdot9 \\
x&=2\cdot5\cdot5 \\
x&=50
\end{align*}

A podstawiając $x=50$ spowrotem do \eqref{r1} otrzymujemy:
\begin{align*}
2(y-15) &= 50 \\
y-15&=25 \\
y&=40
\end{align*}
    
\boxed{
\text{\textbf{Odpowiedź}: Liczba dziewczyn podczas zwiedzania wynosiła 40.}
}

\end{document}