Problem done/CZOM/73/Z9/73Z9.2.2.tex

% Geometry, Triangles, Counting

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{73 CZOM, kat. Z9, etap 2, zadanie 2}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Obdélník na obrázku je rozdělen na dva shodné čtverce, čtyři shodné menší pravoúhlé
trojúhelníky a čtyři shodné větší pravoúhlé trojúhelníky. Velikosti některých stran v cm jsou vyznačeny na obrázku.

Vypočtěte rozměry obdélníku

\noindent\textbf{Polski:}

Prostokąt na obrazku jest podzielony na dwa jednakowe kwadraty, cztery jednakowe mniejsze trójkąty prostokątne i cztery jednakowe większe trójkąty prostokątne. Długości niektórych boków w centymetrach są zaznaczone na rysunku.

Oblicz wymiary prostokąta.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{img/73Z9.2.2_i1.jpg}
    % \caption{}
    % \label{fig:rys0}
\end{figure}
% \bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Wprowadźmy oznaczenia jak na tym rysunku nr \ref{fig:rys0}:

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{img/73Z9.2.2_i2.jpg}
    \caption{Rysunek z oznaczeniami}
    \label{fig:rys0}
\end{figure}

Przypomnijmy najpierw fajny wzorek skróconego mnożenia:
\begin{equation}
\label{r0}
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\end{equation}

Z twierdzenia pitagorasa dla trójkąta $ACD$ otrzymujemy: 
\begin{align*}
28^2 + (10 + z)^2 &= (36 + w)^2 \\
784 + 100 + 20z + z^2 &= 1296 + 72w + w^2 \quad \text{(ze wzoru \eqref{r0})} \\
z^2+20z &= w^2 + 72w + 412
\end{align*}

Zachowajmy to równanko w pamięci:
\begin{equation}
\label{r1}
z^2+20z = w^2 + 72w + 412
\end{equation}

Ponieważ $z$ jest dłuższą przyprostokątną tego większego trójkąta prostokątnego, ale z drugiej strony $w + 18$ również jest dłuższą przyprostokątną tego większego trójkąta prostokątnego. Przeto, możemy wywnioskować, że:
\begin{equation}
\label{r2}
z = w + 18
\end{equation}

Teraz podstawiając \eqref{r2} do \eqref{r1} otrzymujemy:
\begin{align*}
(w+18)^2 + 20(w+18) &= w^2 + 72w + 412 \\
w^2 + 36w + 324 + 20w + 360 &= w^2 + 72w + 412 \\
56w + 684 &= 72w + 412 \\
272 &= 16w \\
16w &= 272 \\
w &= 17
\end{align*}

Skoro $w = 17$ to podstawiając do \eqref{r2} otrzymujemy: 
$$ z = 17 + 18 = 35$$

Ale przecież dłuższy bok prostokąta to jest $|CD| = 10 + z = 45$ (patrz rys. \ref{fig:rys0}).

A krótszy bok prostokąta mieliśmy, skądinąd, od początku równy $10 + 18 = 28$.

\textbf{Odpowiedź}: \underline{Prostokąt ma wymiary $28\ \text{cm} \times 45\ \text{cm}$.}

\end{document}