Problem done/CZOM/73/Z9/73Z9.2.3.tex

% Combinatorics, Digits, Integers

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{bigdelim}
\usepackage{delim}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{73 CZOM, kat. Z9, etap 2, zadanie 3}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Iveta postupně vypisovala přirozená čísla tvořená číslicemi 1, 3, 5, 7. Žádné jiné číslice
nepoužila, postupovala vzestupně od nejmenšího čísla a žádné číslo neopomněla. Čísla
psala bezprostředně za sebou a tak sestavovala jedno mimořádně dlouhé číslo:
$$1357111315173133\ldots$$
Která číslice je v tomto čísle na 1286. místě?

\noindent\textbf{Polski:}

Iveta kolejno wypisywała liczby naturalne złożone z cyfr 1, 3, 5, 7. Nie używała żadnych innych cyfr, wypisywała liczby rosnąco od najmniejszej i żadnej nie pominęła. Liczby zapisywała bezpośrednio jedna po drugiej, tworząc jedno niezwykle długie liczbo-słowo:
$$1357111315173133\ldots$$
Która cyfra znajduje się na 1286. miejscu tego liczbo-słowa?

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\[
\begin{array}{cccc@{\quad}l}
1  & 3  & 5  & 7   & \rdelim\}{1}{5mm}[\text{\ jednocyfrowe}] \\
11 & 13 & 15 & 17  & \rdelim\}{4}{5mm}[\text{\ dwucyfrowe}] \\
31 & 33 & 35 & 37  \\
51 & 53 & 55 & 57  \\
71 & 73 & 75 & 77  \\
\end{array}
\]

Zauważmy, że jednocyfrowych liczb jest $4$ i zajmują one każda jedną cyfrę (jedno miejsce).

Podobnie, dwucyfrowych liczb jest $4\cdot4$ i zajmują one każda dwie cyfry (dwa miejsca).

Ale, ile jest liczb trzycyfrowych (zgodnych z treścią zadania)? Zauważmy, że do każdej liczby dwucyfrowej możemy po prostu dopisać na pierwszej pozycji jedną z liczb 1, 3, 5, 7. Co oznacza, że jest ich 4 razy więcej. Ale każda zajmuje trzy miejsca, bo ma trzy cyfry.
 
Czyli w ogólności możemy powiedzieć, że $k$-cyfrowych liczb jest $4^k$. A skoro każda posiada $k$ cyfr to mamy, że wszystkie zajmują $4^k \cdot k$ miejsc.

Czyli wszystkie liczby jedno, dwu, trzy i czterocyfrowe zajmują wspólnie:
$$4^1 \cdot 1 + 4^2 \cdot 2 + 4^3 \cdot 3 + 4^4 \cdot 4 = 1252 < 1286$$

Ale wszystkie liczby jedno, dwu, trzy, cztero i pięciocyfrowe zajmują wspólnie:
$$4^1 \cdot 1 + 4^2 \cdot 2 + 4^3 \cdot 3 + 4^4 \cdot 4 + 4^5 \cdot 5 = 6372 > 1286$$

Czyli stąd wynika, że miejsce 1286 jest okupowane przez jakąś cyfrę liczby pięciocyfrowej. A czterocyfrowe kończą się na pozycji 1252. A skoro: $1286 - 1252 = 34 = 5\cdot6 + 4$, to wiemy, że chcemy \textbf{czwartą} cyfrę \textbf{szóstej} liczby pięciocyfrowej zgodnej z treścią zadania.

Po prostu rozpiszmy te początkowe pięciocyfrowe liczby: 
$$
\begin{matrix}
    11111, & 11113, & 11115, & 11117,  \\
    11131, & 11133, & 11135, & 11137.  \\
\end{matrix}
$$

Szósta liczba pięciocyfrowa to 11133, a jej czwartą cyfrą jest \boxed{3}.

\boxed{
\text{\textbf{Odpowiedź}: Na miejscu 1286 znajduje się cyfra \underline{\textbf{3}}.
}}

\end{document}