Problem done/CZOM/73/Z9/73Z9.3.1.tex

% Algebra, Integers

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{73 CZOM, kat. Z9, etap 3, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
V základní škole U Tří lip, kam chodí i Lukáš, pořádají vědomostní soutěž s předem
seřazenými úkoly. Každý správně vyřešený úkol je hodnocen tolika body, jaké je jeho
pořadí. Každý neřešený či ne zcela správně vyřešený úkol není hodnocen vůbec. Lukáš
správně vyřešil prvních 12 úkolů. Pokud by správně vyřešil posledních 12 úkolů, získal by o 708 bodů více.

Kolik bylo soutěžních úkolů?

\noindent\textbf{Polski:}

W podstawówce Pod Trzema Lipami, do której chodzi też Łukasz, organizują konkurs wiedzy z zadaniami ułożonymi w określonej kolejności.
Każde poprawnie rozwiązane zadanie jest punktowane liczbą punktów równą jego kolejności.
Każde zadanie pominięte lub rozwiązane niepoprawnie nie jest punktowane wcale.
Łukasz poprawnie rozwiązał pierwszych 12 zadań.
Gdyby zamiast tego poprawnie rozwiązał ostatnich 12 zadań, zdobyłby o 708 punktów więcej.

Ile było wszystkich konkursowych zadań?

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Oznaczmy przez $x$ liczbę zadanek na konkursie.

Rozwiązanie pierwszych 12 zadanek daje nam tyle punktów:
\begin{align*}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 &= \\
(1+12)+(2+11)+(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7) &= \\
6\cdot 13 &= 78 
\end{align*}

Rozwiązanie \textbf{ostatnich} 12 zadanek daje nam tyle punktów:
\begin{align*}
x + (x-1) + (x - 2) + \ldots + (x - 11) &= \\
12x - (1 + \ldots + 11) &= \\
12x - (78 - 12) &= 12x - 66 
\end{align*}

Więc możemy ułożyć takie równanko:

\begin{align*}
78 + 708 &= 12x - 66 \\
852 &= 12x \\
71 &= x \\
\end{align*}

\textbf{Odpowiedź}: Było 71 zadań na konkursie.

\end{document}