Problem done/CZOM/73/Z9/73Z9.3.2.tex

% Geometry, Triangles

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{empheq}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{73 CZOM, kat. Z9, etap 3, zadanie 2}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Útvar na obrázku sestává z trojúhelníku $ABC$ a tří rovnostranných trojúhelníků
$DEF$, $DGH$ a $DIJ$. Bod $D$ je průsečíkem os vnitřních úhlů trojúhelníku $ABC$, vrcholy
$A$, $B$, $C$ jsou po řadě středy stran $EF$, $GH$, $IJ$. Velikost úhlu $EDJ$ je $51^\circ$, velikost úhlu $HDI$ je $66^\circ$.

Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku $ABC$.

\noindent\textbf{Polski:}

Figura na rysunku składa się z trójkąta $ABC$ oraz trzech trójkątów równobocznych $DEF$, $DGH$ i $DIJ$.
Punkt $D$ jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta $ABC$, a wierzchołki $A$, $B$, $C$ są odpowiednio środkami boków $EF$, $GH$ i $IJ$.
Miara kąta $EDJ$ wynosi $51^\circ$, a miara kąta $HDI$ wynosi $66^\circ$.

Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta $ABC$.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{img/73Z9.3.2_i1.jpg}
    % \caption{Konfiguracja początkowa}
    % \label{fig:rys0}
\end{figure}

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Wprowadźmy oznacznia jak na rysunku: (patrz rys. \ref{fig:rys0})

Czyli, niech $\angle DAB = \angle CAD = \alpha$, $\angle DBC = \angle ABD = \beta$, $\angle BCD = \angle DCA = \gamma$.

Skoro mamy trójkąty równoboczne to: $\angle HDG = \angle JDI = \angle FDE = 60^\circ$. Przy czym skoro odpowiednio punkty $A$, $B$, $C$ są środkami boków $EF$, $GH$, $IJ$ to skoro to są trójkąty równoboczne, to proste $AD$, $BD$ i $CD$ są dwusiecznymi kątów $FDE$, $HDG$, $JDI$.

Czyli $\angle FDA = \angle ADE = 30^\circ$ i tak dalej dla każdego kąta trójkąta równobocznego co ma wierzchołek w punkcie $D$.

Ze względu na to, że suma kątów przy dookoła wierzchołka to $360^\circ$ otrzymujemy: 
\begin{align*}
\angle BDA &= 360^\circ - \angle HDG - \angle JDI - \angle FDE - \angle EDJ - \angle HDI \\
&= 360^\circ - 60^\circ - 60^\circ - 60^\circ - 51^\circ - 66^\circ \\
&= 63^\circ
\end{align*}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.75\textwidth]{img/73Z9.3.2_i2.jpg}
    \caption{Oznaczone kąty}
    \label{fig:rys0}
\end{figure}

Teraz ułóżmy równania:

Będziemy korzystać z faktu, że suma kątów w trójkącie to $180^\circ$.

Z trójkąta $ABC$ otrzymujemy:
\begin{align*}
2\alpha + 2\beta + 2\gamma &= 180^\circ \\
\alpha + \beta + \gamma &= 90^\circ
\end{align*}

Skoro $\angle BDA = 30^\circ + 30^\circ + 63^\circ = 123^\circ$ to:
\begin{align*}
\alpha + \beta &= 180^\circ - 123^\circ \\
\alpha + \beta &= 57^\circ 
\end{align*}

Skoro $\angle CDB = 30^\circ + 30^\circ + 66^\circ = 126^\circ$ to:
\begin{align*}
\gamma + \beta &= 180^\circ - 126^\circ \\
\gamma + \beta &= 54^\circ 
\end{align*}

Skoro $\angle ADC = 30^\circ + 30^\circ + 51^\circ = 111^\circ$ to:
\begin{align*}
\alpha + \gamma &= 180^\circ - 111^\circ \\
\alpha + \gamma &= 69^\circ 
\end{align*}

Czyli otrzymujemy taki układzik równań:
\begin{empheq}[left=\empheqlbrace]{align}
    \alpha + \beta + \gamma &= 90^\circ \label{e1} \\
    \alpha + \beta &= 57^\circ \label{e2} \\
    \gamma + \beta &= 54^\circ \label{e3} \\
    \alpha + \gamma &= 69^\circ \label{e4}
\end{empheq}

Wstawiając \eqref{e2} do \eqref{e1} otrzymujemy:
\begin{align*}
57^\circ + \gamma &= 90^\circ \\
\gamma &= 33^\circ \\
\end{align*}

Teraz podstawiając tę $\gamma$ do \eqref{e4} otrzymujemy:
\begin{align*}
\alpha + 33^\circ &= 69^\circ \\
\alpha &= 36^\circ \\
\end{align*}

Podstawiając tę $\alpha$ do \eqref{e2} otrzymujemy:
\begin{align*}
36^\circ + \beta &= 57^\circ \\
\beta &= 21^\circ \\
\end{align*}

A skoro kąty wewnętrzne w trójkącie $ABC$ to: $2\alpha$, $2\beta$, $2\gamma$ to otrzymujemy: $72^\circ$, $42^\circ$, $66^\circ$.

\textbf{Odpowiedź}: Kąty wewnętrzne w trójkącie $ABC$ wynoszą: $72^\circ$, $42^\circ$, $66^\circ$.

\end{document}