Problem done/CZOM/73/Z9/73Z9.3.3.tex

% Geometry, Triangles

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newtcolorbox{bluebox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=blue!5!white,
    colframe=blue!50!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{73 CZOM, kat. Z9, etap 3, zadanie 3}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Na stranách obecného trojúhelníku $ABC$ jsou dány body $K$, $L$, $M$, $N$, $U$:
\begin{itemize}
\item bod $K$ je středem strany $AC$,
\item bod $U$ je středem strany $BC$,
\item body $L$ a $M$ leží po řadě na úsečkách $CK$ a $CU$ tak, že $LM\parallel KU$,
\item bod $N$ leží na úsečce $AB$ tak, že $|AN| : |AB| = 3 : 7$,
\item poměr obsahů mnohoúhelníků $UMLK$ a $MLKNU$ je $3 : 7$.
\end{itemize}
Určete poměr velikostí úseček $LM$ a $KU$.

\bigskip
\noindent\textbf{Polski:}

Na bokach dowolnego trójkąta $ABC$ dane są punkty $K$, $L$, $M$, $N$, $U$:
\begin{itemize}
\item punkt $K$ jest środkiem boku $AC$,
\item punkt $U$ jest środkiem boku $BC$,
\item punkty $L$ i $M$ leżą kolejno na odcinkach $CK$ i $CU$ w taki sposób, że $LM\parallel KU$,
\item punkt $N$ leży na odcinku $AB$ w taki sposób, że $|AN| : |AB| = 3 : 7$,
\item stosunek pól wielokątów $UMLK$ i $MLKNU$ wynosi $3 : 7$.
\end{itemize}
Określ stosunek długości odcinków $LM$ i $KU$.

\bigskip
\noindent\textbf{Solution:}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.7\textwidth]{img/73Z9.3.3_i1.jpg}
    \caption{Konfiguracja początkowa}
    \label{fig:rys0}
\end{figure}

W zadaniu będziemy używać następującego oznaczenia: $P_{X_1\ldots X_k}$ to pole figury o wierzchołkach $X_1, \ldots, X_k$. 

\begin{bluebox}{Środkowa przekątna}
\begin{theorem}
    \label{tw:srodkowa-przekatna}
    Skoro $U$ jest środkiem $BC$ i $K$ jest środkiem $AC$ to $KU$ jest tak zwaną środkową przekątną w trójkącie $ABC$. Ma taką własność, że $AB\parallel KU$ oraz $|AB| = 2|KU|$. (Można to udowodnić przy pomocy twierdzenia Talesa i twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa)
\end{theorem}
\end{bluebox}

Miejmy powyższe w pamięci a teraz przejdźmy do następującego \textbf{fakciku}:

% This lemma is local, cannot be reused without rework
\begin{greenbox}{Zależność pól $KNU$ i $CKU$}
\begin{lemma}
\label{l1}
Trójkąty $KNU$ i $CKU$ mają tę samą wysokość, a co za tym idzie, również i pole ze względu na wspólną podstawę $KU$ (bo na ten bok opuszczamy wysokość).
\end{lemma}
\end{greenbox}

\begin{redbox}{Proof of lemma \ref{l1}}
\begin{proof}

Odległość prostej $AB$ od prostej $KU$ jest taka sama \textbf{niezależnie} od dobrania punktu $N$ na tejże prostej. Ponadto wysokość upuszczona z punktu $C$ na bok $AB$ jest dwa razy większa niż wysokość upuszczona z punktu $C$ na bok $KU$ (patrz tw. \ref{tw:srodkowa-przekatna}).

Dlatego oznaczmy przez $2h$ wysokość w trójkącie $ABC$ opuszczoną na bok $AB$.

Ale skoro wysokość jest pod kątem prostym oraz $AB\parallel KU$ to możemy powiedzieć, że odległość prostej $AB$ od prostej $KU$ jest równa połowie wysokości opuszczonej na bok $AB$, czyli po prostu $h$. 

A skoro $N$ leży na prostej $AB$ to odległość punktu $N$ od prostej $AB$ jest równa odległości prostej $AB$ od prostej $KU$, czyli $h$ (z powyższego wywodu). (patrz rys. \ref{fig:rys2})

\end{proof}
\end{redbox}

Dobrze, to użyjmy tego \textbf{fakciku} by zrobić całe to zadanko.

Skoro $AB\parallel KU$ i $KU\parallel ML$ (z założeń zadania) to z tego wynika, że $AB\parallel ML$.

Czyli jeśli sobie oznaczymy $\gamma = \angle LCM$ to ze względu na równoległość $KU$ i $ML$ mamy, że $\angle KCU = \angle LCM = \gamma$. 

Analogicznie, oznaczmy $\alpha = \angle MLC$ to ze względu na równoległość $KU$ i $ML$ mamy, że $\angle UKC = \angle MLC = \alpha$.

A skoro trójkąty $KCU$ i $LCM$ mają te same kąty to są podobne (cecha kąt-kąt-kąt).

Oznaczmy, że pole czworokąta $KLMU$ jest równe $3P$. W takim razie pole $KUN$ jest równe $4P$, ponieważ w założeniach zadania mamy takie coś: "stosunek pól wielokątów $UMLK$ i $MLKNU$ wynosi $3 : 7$".

Ale teraz korzystając z lematu \ref{l1} mamy, że $4P = P_{KNU} = P_{KUC}$.

A skoro $P_{KUC} = 4P$ to mamy, że $P_{LCM} = P_{KUC} - P_{KLMU} = 4P - 3P = P$. (patrz rys. \ref{fig:rys3})

A skoro trójkąty $KCU$ i $LCM$ są podobne, a znamy ich pola, to wiemy, że skala podobieństwa jest równa:
$$ k^2 = \frac{P_{KCU}}{P_{LCM}} = \frac{4P}{P} = 4 $$

Czyli $k = 2$. Ale z podobieństwa mamy również to:
$$
\frac{|LM|}{|KU|} = k = 2
$$

\textbf{Odpowiedź}: $\frac{|LM|}{|KU|} = 2$.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{img/73Z9.3.3_i2.jpg}
    \caption{Dowód wspólnej wysokości}
    \label{fig:rys2}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{img/73Z9.3.3_i3.jpg}
    \caption{Oznaczone pola}
    \label{fig:rys3}
\end{figure}

\end{document}