Problem done/CZOM/73/Z9/73Z9.3.4.tex

% Algebra, Integers

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{73 CZOM, kat. Z9, etap 3, zadanie 4}

\newtcolorbox{bluebox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=blue!5!white,
    colframe=blue!50!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Najděte všechny trojice trojmístných přirozených čísel $a$, $b$, $c$, pro která platí
$$b^2=a\cdot c, \quad b=a+34$$
\noindent\textbf{Polski:}

Znajdź wszystkie trójki trzycyfrowych liczb naturalnych $a$, $b$, $c$, dla których zachodzi
$$b^2=a\cdot c, \quad b=a+34$$

% \bigskip
\noindent\textbf{Solution:}

Przypomnijmy wzorek skróconego mnożenia:
\begin{equation}
\label{r1}
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\end{equation}

Skoro $a$, $b$ i $c$ są trzycyfrowymi liczbami naturalnymi to mamy, że
$$ 100 \leq a,b,c \leq 999$$

Skoro $b=a+34$, to podstawmy do $b^2=a\cdot c$:

\begin{align*}
b^2&=a\cdot c\\
(a+34)^2&=a\cdot c\\
a^2 + 68a + 1156&=a\cdot c \quad \text{(używając wzoru \eqref{r1})}\\
a^2 + 68a - a\cdot c&=-1156\\
a(a + 68 - c)&=-1156\\
a(c - a - 68)&=1156\\
a(c - a - 68)&=2^2\cdot 17^2\\
\end{align*}

Czyli mamy takie równanko:
\begin{equation}
\label{r2}
a(c - a - 68)=1156
\end{equation}

Rozpiszmy wszystkie dzielniki liczby 1156. Zauważmy, że jest ich 9 z twierdzenia o liczbie dzielników. Przypomnijmy to twierdzenie:

\begin{theorem}
    Jeśli $a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}$, gdzie $p_i$ to liczby pierwsze, a $\alpha_i$ są dodatnie, to liczba dodatnich dzielników $a$ jest równa:
    $$(\alpha_1 + 1) \cdot (\alpha_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (\alpha_k + 1)$$
\end{theorem}

\begin{proof}
    Rozpocznijmy od rozpisania liczby \( a \) w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych:
    \[
    a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}
    \]
    gdzie \( p_1, p_2, \dots, p_k \) to liczby pierwsze, a \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k \) to liczby dodatnie.
    
    Każdy dzielnik \( d \) liczby \( a \) ma postać:
    \[
    d = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{b_k}
    \]
    gdzie \( b_1, b_2, \dots, b_k \) są liczbami całkowitymi spełniającymi warunki:
    \[
    0 \leq b_i \leq \alpha_i \quad \text{dla każdego} \ i = 1, 2, \dots, k.
    \]
    
    Zatem, dla każdej liczby pierwszej \( p_i \), \( b_i \) może przyjąć \( \alpha_i + 1 \) różnych wartości (od 0 do \( \alpha_i \) włącznie).
    
    Ponieważ liczba dzielników liczby \( a \) jest równa liczbie różnych kombinacji wartości \( b_1, b_2, \dots, b_k \), to liczba dzielników liczby \( a \) jest iloczynem liczby możliwych wartości \( b_1, b_2, \dots, b_k \):
    \[
    (\alpha_1 + 1) \cdot (\alpha_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (\alpha_k + 1)
    \]
    
    Tym samym, liczba dodatnich dzielników liczby \( a \) jest równa:
    \[
    (\alpha_1 + 1) \cdot (\alpha_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (\alpha_k + 1),
    \]
    co kończy dowód.
\end{proof}

Skoro tak, to wiemy, że 1156 ma 9 dodatnich dzielników (bo $(2+1)(2+1) = 9$). Ponadto możemy wyznaczyć wszystkie dzielniki:
$$1, 2, 4, 17, 34, 68, 289, 578, 1156$$

Dobra, a teraz wracając do naszego równanka \eqref{r2}. Zauważmy, że skoro $a$,$c$ są liczbami całkowitymi to jest to tak zwane \textbf{równanie diofantyczne}.

\begin{bluebox}{Rozwiązywanie równań diofantycznych}
    Równania diofantyczne postaci:
    \[
    xy = z
    \]
    gdzie \(x, y, z\) są liczbami całkowitymi, rozwiązujemy, znajdując wszystkie pary dzielników liczby \(z\).
    
    \textbf{Kroki rozwiązania:}
    \begin{enumerate}
        \item Rozłóż \(z\) na czynniki pierwsze (jeśli to potrzebne).
        \item Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych \((x, y)\) spełniające \(xy = z\).
        \item Pamiętaj o dodatnich i ujemnych dzielnikach! Jeśli \((x,y)\) jest rozwiązaniem, to również \((-x,-y)\) jest rozwiązaniem, ponieważ \((-x)(-y) = xy = z\).
    \end{enumerate}
    
    \textbf{Przykład:}
    
    Rozwiążemy równanie:
    \[
    xy = 12.
    \]
    
    Dzielniki dodatnie liczby 12 to: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
    
    Możliwe pary \((x, y)\) to:
    \[
    (1,12), \quad (2,6), \quad (3,4), \quad (4,3), \quad (6,2), \quad (12,1).
    \]
    Dodatkowo uwzględniamy rozwiązania ujemne:
    \[
    (-1,-12), \quad (-2,-6), \quad (-3,-4), \quad (-4,-3), \quad (-6,-2), \quad (-12,-1).
    \]
    
    \textbf{Wniosek:} Wszystkie pary \((x,y)\) takie, że \( x \) dzieli \( z \) i \( y = \frac{z}{x} \).
    
\end{bluebox}    

Okej, ale zauważmy, że w naszym równanku \eqref{r2} mamy $a$ pomnożone przez coś innego. A mamy to rozwiązać dla liczb naturalnych trzycyfrowych. Co oznacza, że tylko dodatnie trzycyfrowe dzielniki liczby 1156 warto rozpatrzeć.

Co daje nam 2 przypadki: $a=289$, $a=578$.

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
    \raggedright
    $$
    \begin{cases}
        a = 289 \\
        c - a - 68 = \frac{1156}{289} = 4
    \end{cases}
    $$
    Podstawiając $a=289$ do tego drugiego w tym układzie otrzymamy:
    \begin{align*}
        c - a - 68 &= 4\\
        c - 289 - 68 &= 4\\
        c &= 361\\
    \end{align*}

    A znając $a$ możemy też wyliczyć $b$:
    $$b=a+34=323$$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
    \raggedright
    $$
    \begin{cases}
        a = 578 \\
        c - a - 68 = \frac{1156}{578} = 2
    \end{cases}
    $$
    Podstawiając $a=578$ do tego drugiego w tym układzie otrzymamy:
    \begin{align*}
        c - a - 68 &= 2\\
        c - 578 - 68 &= 2\\
        c &= 648\\
    \end{align*}

    A znając $a$ możemy też wyliczyć $b$:
    $$b=a+34=612$$.
\end{minipage}

Kończąc już: rozpatrzając te dwa przypadki wiemy, że mamy dwie takie trójki liczb $a$,$b$,$c$:

\textbf{Odpowiedź}: $(a,b,c)\in\left\{(289, 323, 361), \ (578, 612, 648)\right\}$

\end{document}