Problem done/CZOM/74/B/74B.2.3.tex

% NumberTheory, Integers, Zlomek

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
\newtheorem{zasada}{Zasada}[section]

\newtcolorbox{yellowbox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=yellow!5!white,
    colframe=yellow!70!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{74 CZOM, kat. B, etap 2, zadanie 3}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}

\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Pro přirozená čísla $r$, $s$ platí, že zlomek $\frac{r}{s}$ leží v intervalu $\left[ \frac{23}{45}; \frac{46}{89} \right] $. Jakou
nejmenší hodnotu může mít jmenovatel $s$?

\noindent\textbf{Polski:}

Dane są liczby naturalne $r$, $s$ takie, że ułamek $\frac{r}{s}$ jest w przedziale $\left[ \frac{23}{45}; \frac{46}{89} \right]$.
Jaką najmniejszą wartość może mieć mianownik $s$?

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

W tym rozwiązaniu spróbujemy wyznaczyć wartość $s$ w zależności od $r$.

Zauważmy, że $\frac{23}{45} > \frac{1}{2}$. Możemy to wykorzystać następująco:
\begin{align*}
\frac{r}{s} &\geq \frac{23}{45} \quad (\text{z zał. zad.}) \\
\frac{r}{s} &\geq \frac{23}{45} > \frac{1}{2}  \\
\frac{r}{s} &> \frac{1}{2}  \\
2r &> s  \\
2r - 1 &\geq s \quad (\text{patrz zasada \ref{zasada-skwantowania}}) \\
\frac{r}{2r - 1} &\leq \frac{r}{s} \\ 
\frac{r}{2r - 1} &\leq \frac{r}{s} \leq \frac{46}{89} \quad (\text{z zał. zad.}) \\
\frac{r}{2r - 1} &\leq \frac{46}{89} \\
92r - 46 &\geq 89r \\
3r &\geq 46 \\
r &\geq \left\lceil \frac{46}{3} \right\rceil \\
r &\geq 16 
\end{align*}

\begin{yellowbox}{Zasada Skwantowania}
\begin{zasada}
    \label{zasada-skwantowania}
    Jeżeli liczby całkowite $a$,$b$ spełniają warunek $a>b$, to $a\geq b+1$.

    W szczególności, jeśli $c>0$ to $c\geq1$.
\end{zasada}
\end{yellowbox}

Okej i otrzymany wynik $r\geq16$ użyjmy w nierówności $\frac{r}{s} \leq \frac{46}{89}$:
\begin{align*}
&s\geq\frac{89r}{46}\geq\frac{89\cdot16}{46}\\
\Rightarrow& s \geq \left\lceil \frac{89\cdot16}{46} \right\rceil = 31 
\end{align*}

I rzeczywiście okazuje się, że ułamek $\frac{16}{31}$ mieści się w przedziale $\left[ \frac{23}{45}; \frac{46}{89} \right]$.

Można to sprawdzić następująco (mnożąć na krzyż):
$$\frac{16}{31} \leq \frac{46}{89} \Leftrightarrow 16\cdot89 = 1424 \leq 1426 = 31\cdot46 $$
$$\frac{16}{31} \geq \frac{23}{45} \Leftrightarrow 16\cdot45 = 720 \geq 713 = 23\cdot31 $$

\textbf{Odpowiedź:} Najmniejszym możliwym mianownikiem jest $s=31$.

\end{document}