Problem done/CZOM/74/C/74C.3.1.tex

% Combinatorics, NumberTheory

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{74 CZOM, kat. C, etap 3, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{18}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Dvojmístné číslo $\overline{ab}$ nazveme \emph{nafouknutelné}, pokud z něj po přičtení $990$-násobku
vhodného jednomístného čísla získáme čtyřmístné číslo tvaru $\overline{axxb}$ s nenulovou
číslicí $x$. Kolik nafouknutelných čísel existuje?

\textbf{Po polsku:}

Dwucyfrową liczbę $\overline{ab}$ nazwiemy \emph{nadmuchiwaną}, jeśli po dodaniu
do niej $990$-krotności pewnej odpowiedniej jednocyfrowej liczby otrzymamy
czterocyfrową liczbę postaci $\overline{axxb}$, gdzie $x$ jest niezerową cyfrą.
Ile istnieje liczb nadmuchiwanych?

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Oznaczmy, przez $y$ jednocyfrową liczbę, której to $990$-wielokrotność dodajemy.

Zauważmy, że musi być:
\begin{align*}
    b,y&\in\left\{0,1,\ldots,9\right\}\\
    a,x&\in\left\{1,\ldots,9\right\}\\
\end{align*}

Czyli zapiszmy równość z treści zadania:
\begin{align*}
    10a + b + 990y &= 1000a + 100x + 10x + b \\
    10(a+99y) + b &= 10(100a + 11x) + b
\end{align*}

Zauważmy: $b$ nie wpływa na nasz wynik! Bo skoro mamy coś pomnożone przez 10 i 
dodać naszą cyfrę $b$ to niezależnie od $x$, $y$ i $a$ , $b$ nam nic nie zmieni!

Czyli $b$ może być dowolne!

Zatem jedźmy dalej:
\begin{align*}
    10(a+99y) + b &= 10(100a + 11x) + b \\
    a+99y &= 100a + 11x \\
    99y &= 99a + 11x \\
    9y &= 9a + x \\
    9y - 9a  &= x \\
    9(y - a)  &= x
\end{align*}

Skoro $x$ jest cyfrą niezerową, to musi być $y-a = 1$.

Czemu nie może być innej możliwości? Bo mnożymy przez 9 po lewej stronie.
Wielokrotności 9 to kolejno: 9, 18, 27, $\ldots$.
Widzimy, że jedyną wielokrotnością 9, która jest cyfrą jest pierwsza wielokrotność.

A zatem mamy $y-a = 1$.

Jaki to nam daje warunek? Zapiszmy:
\[
y = a + 1
\]

Skoro $y$ jest cyfrą (dowolną), a tutaj mamy taką zależność, to $a+1$ musi być w przedziale $\left\{0,1,\ldots,9\right\}$.

Skoro $a$ też jest cyfrą, to jedyne dobre wartości, które zapewnią powyższy warunek to:
\[
    a\in\left\{1,\ldots,8\right\}
\]

Czemu $a$ nie może być równe 9? Bo wtedy $a+1$ byłoby równe 10.

A zatem, skoro dla $a$ mamy 8 możliwości, a dla $b$ jest \textbf{niezależnie} 10 możliwości to mamy, że liczb nadmuchiwanych jest:
\[
8\cdot10 = 80
\]

\textbf{Odpowiedź: } Jest 80 szukanych liczb.

\end{document}