Problem done/CZOM/74/Z9/74Z9.3.1.tex

\fontsize{15}{15}\selectfont

Problem Statement

Do divadla dorazili diváci buď pěšky, nebo auty, nebo autobusy. Diváků, kteří dorazili autobusy, bylo více než 150. Autobusů bylo šest a v každém bylo stejné množství diváků. Diváků, kteří dorazili pěšky nebo auty, bylo o 35 \% méně než těch, kteří dorazili autobusy. Všech diváků bylo nejvýše 400.

Kolik přesně diváků bylo v divadle? Určete všechny možnosti.

Polski:

Do teatru przybyli widzowie pieszo, samochodami lub autobusami. Widzów, którzy przyjechali autobusami, było więcej niż 150. Autobusów było sześć, a w każdym z nich była taka sama liczba widzów. Widzów, którzy przybyli pieszo lub samochodami, było o 35\% mniej niż tych, którzy przyjechali autobusami. Wszystkich widzów było co najwyżej 400.

Ilu dokładnie widzów było w teatrze? Podaj wszystkie możliwe wartości.

Solution:

Oznaczmy, przez $x$ pojemność jednego autobusa.

Wiemy, że widzów, którzy przyjechali autobusami jest $6x > 150$.

Wszystkich widzów było zatem $1,65\cdot6x = 9,9x \leq 400$.

Więc zauważmy, że skoro liczba widzów ma być całkowita, to $\frac{99x}{10}$ ma być całkowite.

Zauważmy, że będzie to całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy $10 \mid x$.

Ale skoro $6x>150$, to mamy takie możliwości: $$x\in\left\{30,40,50,\ldots\right\}$$

Więc sprawdźmy te możliwości:

$x = 30 \Rightarrow 9,9x = 297$ \\
$x = 40 \Rightarrow 9,9x = 396$ \\
$x = 50 \Rightarrow 9,9x = 495 > 400$, ten wynik jest już większy niż 400, czyli nie jest dobry, a to oznacza, że dalej się już sprawdzać nie opłaca, bo każdy wynik będzie tylko większy niż poprzedni.

\underline{ Odpowiedź: Ludzi w teatrze mogło być albo 297 albo 396. }

% Algebra, Arithmetic, Integers

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{74 CZOM, kat. Z9, etap 3, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Do divadla dorazili diváci buď pěšky, nebo auty, nebo autobusy. Diváků, kteří dorazili
autobusy, bylo více než 150. Autobusů bylo šest a v každém bylo stejné množství diváků.
Diváků, kteří dorazili pěšky nebo auty, bylo o 35 \% méně než těch, kteří dorazili autobusy.
Všech diváků bylo nejvýše 400.

Kolik přesně diváků bylo v divadle? Určete všechny možnosti.

\noindent\textbf{Polski:}

Do teatru przybyli widzowie pieszo, samochodami lub autobusami. Widzów, którzy przyjechali autobusami, było więcej niż 150. Autobusów było sześć, a w każdym z nich była taka sama liczba widzów.
Widzów, którzy przybyli pieszo lub samochodami, było o 35\% mniej niż tych, którzy przyjechali autobusami.
Wszystkich widzów było co najwyżej 400.

Ilu dokładnie widzów było w teatrze? Podaj wszystkie możliwe wartości.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Oznaczmy, przez $x$ pojemność jednego autobusa.

Wiemy, że widzów, którzy przyjechali autobusami jest $6x > 150$.

Wszystkich widzów było zatem $1,65\cdot6x = 9,9x \leq 400$.

Więc zauważmy, że skoro liczba widzów ma być całkowita, to $\frac{99x}{10}$ ma być całkowite.

Zauważmy, że będzie to całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy $10 \mid x$.

Ale skoro $6x>150$, to mamy takie możliwości:
$$x\in\left\{30,40,50,\ldots\right\}$$

Więc sprawdźmy te możliwości:
\begin{itemize}
    \item $x = 30 \Rightarrow 9,9x = 297$ \\
    \item $x = 40 \Rightarrow 9,9x = 396$ \\
    \item $x = 50 \Rightarrow 9,9x = 495 > 400$, ten wynik jest już większy niż 400, czyli nie jest dobry, a to oznacza, że dalej się już sprawdzać nie opłaca, bo każdy wynik będzie tylko większy niż poprzedni.
\end{itemize}

\underline{
\textbf{Odpowiedź:} Ludzi w teatrze mogło być albo 297 albo 396.
}

\end{document}