Problem done/CZOM/74/Z9/74Z9.3.3.tex

% DiophantineEquations, NumberTheory, Algebra, Integers

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{74 CZOM, kat. Z9, etap 3, zadanie 3}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Najděte všechny dvojice přirozených čísel $a$ a $b$, pro které platí:
$$7a+4b+74=a\cdot b.$$

\noindent\textbf{Polski:}

Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych $a$ i $b$ spełniające:
$$7a+4b+74=a\cdot b.$$

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\boxed{\text{
    \noindent\textbf{Sposób 1:}
}}

Najpierw trochę przekształćmy nasze równanko:

\begin{align*}
    7a+4b+74&=a\cdot b \\
    7a+4b+74-ab&=0\\
    b(4-a)+74+7a&=0\\
    b(4-a)&=-74-7a\\
    b&=\frac{-74-7a}{4-a} \quad \text{sprawdź niżej dla $a=4$}
\end{align*}

Zauważmy, że gdy $a=4$ to otrzymujemy coś takiego:
\begin{align*}
    7\cdot4+4b+74&=4b \\
    28+74&=0 \\
\end{align*}

Jak widać sprzeczność, dlatego mogliśmy podzielić przez $a-4$. Bo zakładamy, że $a\neq4$ bo nie daje nam to żadnego poprawnego wyniku.

Ale zauważmy ważną rzecz:
$$\frac{-74-7a}{4-a} = \frac{74+7a}{a-4} = \frac{7a - 28 + 102}{a-4} = 7 + \frac{102}{a-4}$$

Więc widzimy, że poprawnymi wynikami są takie liczby $a$, że liczba $a-4$ jest dzielnikiem 102. A potem z tego można obliczyć wartości $b$.

\setlength{\tabcolsep}{10pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    $a-4$ & 1  & 2  & 3  & 6 & 17 & 34 & 51 & 102 \\
    \hline
    $a$ & 5  & 6  & 7  & 10 & 21 & 38 & 55 & 106 \\
    \hline
    $b$ & 109 & 58 & 41 & 24 & 13 & 10 & 9 & 8 \\
    \hline
\end{tabular}

\boxed{\text{
    \noindent\textbf{Sposób 2:}
}}

Analogiczny do pierwszego, tyle że wyznaczamy $a$:
\begin{align*}
    7a+4b+74&=a\cdot b \\
    7a+4b+74-ab&=0\\
    a(7-b)+74+4b&=0\\
    a(7-b)&=-74-4b\\
    a&=\frac{-74-4b}{7-b} \quad \text{sprawdź niżej dla $b=7$}
\end{align*}

Wiadomo, że dla $b=7$ się nie da (można podstawić i sprawdzić).

Tak samo robimy:
$$\frac{-74-4b}{7-b} = \frac{74+4b}{b-7} = \frac{4b - 28 + 102}{b-7} = 4 + \frac{102}{b-7}$$

Widać, że rozwiązaniami są tylko liczby $b-7$ które są dzielnikami 102.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    $b-7$ & 1  & 2  & 3  & 6 & 17 & 34 & 51 & 102 \\
    \hline
    $b$ & 8 & 9 & 10 & 13 & 24 & 41 & 58 & 109 \\
    \hline
    $a$ & 106 & 55 & 38 & 21 & 10 & 7 & 6 & 5 \\
    \hline
\end{tabular}

\boxed{\text{
    \noindent\textbf{Sposób 3:}
}}

Przekształćmy nasze równanko:
\begin{align*}
    7a+4b+74&=ab \\
    74&=ab-7a-4b \\
    102&=ab-7a-4b+28 \\
    102&=a(b-7)-4(b-7) \\
    102&=(b-7)(a-4)
\end{align*}

Otrzymujemy równanie diofantyczne. Tutaj wszystkie możliwości:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\begin{cases}
b - 7 = 1 \\
a - 4 = 102
\end{cases}
&
\begin{cases}
b - 7 = 2 \\
a - 4 = 51
\end{cases}
&
\begin{cases}
b - 7 = 3 \\
a - 4 = 34
\end{cases}
&
\begin{cases}
b - 7 = 6 \\
a - 4 = 17
\end{cases}
\\
\hline
\begin{cases}
b - 7 = 17 \\
a - 4 = 6
\end{cases}
&
\begin{cases}
b - 7 = 34 \\
a - 4 = 3
\end{cases}
&
\begin{cases}
b - 7 = 51 \\
a - 4 = 2
\end{cases}
&
\begin{cases}
b - 7 = 102 \\
a - 4 = 1
\end{cases}
\\
\hline
\end{array}
\]

Rozwiązując każde otrzymamy taki sam wynik jak w poprzednich sposobach.

\end{document}