Problem done/CZOM/74/Z9/74Z9.3.4.tex

% Geometry, Triangles, Construction, Circles

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
\newtheorem{fakcik}{Fakcik}[section]

% dowod, proof
\newtcolorbox{redbox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=red!5!white,
    colframe=red!50!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% lemat, lemma
\newtcolorbox{greenbox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=green!5!white,
    colframe=green!50!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% twierdzonko, theorem
\newtcolorbox{bluebox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=blue!5!white,
    colframe=blue!50!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% zasada, rule 
\newtcolorbox{yellowbox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=yellow!5!white,
    colframe=yellow!70!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% Fakcik, fact
\newtcolorbox{purplebox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=purple!5!white,
    colframe=purple!90!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% algorithm
\newtcolorbox{orangebox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=orange!5!white,
    colframe=orange!70!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{74 CZOM, kat. Z9, etap 3, zadanie 4}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Sestrojte trojúhelník $XYZ$ a obdélník $ABCD$ tak, aby platily následující podmínky:

\begin{itemize}
    \item \(|XY| = 8\ \text{cm}\), \(|YZ| = 6\ \text{cm}\), \(|XZ| = 7\ \text{cm}\),
    \item body $X$ a $Y$ leží na přímce $AC$,
    \item úsečky $AC$ a $XY$ jsou shodné,
    \item bod $Z$ leží na přímce $BD$,
    \item obsah trojúhelníku $ACZ$ je dvakrát větší než obsah trojúhelníku $ABC$.
\end{itemize}

Konstrukci popište a zdůvodněte.

\noindent\textbf{Polski:}

Skonstruuj trójkąt \( XYZ \) i prostokąt \( ABCD \) spełniające następujące warunki:

\begin{itemize}
    \item \(|XY| = 8\ \text{cm}\), \(|YZ| = 6\ \text{cm}\), \(|XZ| = 7\ \text{cm}\),
    \item punkty \(X\) i \(Y\) leżą na prostej \(AC\),
    \item odcinki \(AC\) i \(XY\) są przystające,
    \item punkt \(Z\) leży na prostej \(BD\),
    \item pole trójkąta \(ACZ\) jest dwa razy większe niż pole trójkąta \(ABC\).
\end{itemize}

Opisz konstrukcję i uzasadnij jej poprawność.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Zaczynamy od odcinka $XY$, którego długość jest równa 8cm.

Następnie rysujemy okręgi o środku w punktach $X$ i $Y$ mające odpowiednio 7cm i 6cm.

$Z$ jest punktem przecięcia tych okręgów, przy czym nie ma znaczenia, czy weźmiemy ten, który jest nad czy pod prostą $XY$.

% Niech $d$ oznacza odległość punktu $Z$ od prostej $XY$.

% Poprowadźmy teraz jakąś prostą $l$, która jest równoległa do $XY$ i w odległości $\frac{1}{2}d$ od prostej $XY$. Przy czym znowu nie ma znaczenia, czy weźmiemy prostą, która jest nad czy pod prostą $XY$.

Teraz bardzo ważny fakcik, który nam powie co dalej podziałać:

Jeśli byśmy oznaczyli jakiś punkt $W$, który jest przecięciem przekątnych prostokąta $ABCD$ (czyli przecięciem $AC$ i $BD$) to możemy takie coś wywnioskować: punkty $Z$, $D$, $W$, $B$ muszą leżeć na jednej prostej. Ponieważ z założenia konstrukcji mamy mieć, że $Z$ leży na $BD$ a $W$ to z definicji leży na $BD$.

A to nam pozwala wykorzystać ten następujący fakcik:

\begin{purplebox}{Pomocniczy fakcik}
\begin{fakcik}
    \label{fakcik-pomocniczy1-geometry}
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=.6\textwidth]{img/fakcik1-img1.jpg}
        \caption{Rysunek do fakciku \ref{fakcik-pomocniczy1-geometry}}
        \label{fig:fakcik-pomocniczy1-geometry}
    \end{figure}

    Wprowadzamy oznaczenia jak na tym rysunku.

    Jeśli punkty $C$, $E$, $D$ są współliniowe to mamy $|ED| = \frac{y}{x}z$.
\end{fakcik}
\end{purplebox}

\begin{redbox}{Dowód fakciku \ref{fakcik-pomocniczy1-geometry}}
\begin{proof}
    Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku \ref{fig:fakcik-pomocniczy1-geometry}.

    Zakładamy, że punkty $C$, $E$, $D$ są współliniowe.

    Wtedy widzimy, że trójkąty $ACE$ i $EBD$ są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). A skala podobieństwa wynosi $\frac{x}{y}$.

    Czyli odcinek $ED$ będzie równy $\frac{y}{x}z$. (przy czym $z = |CE|$).
\end{proof}
\end{redbox}

Korzystając z naszego fakciku możemy stwierdzić, że (uzasadnienie niżej)
$$|WZ| = 2 |WB| = 2 |WD| = |BD| = 8\ \text{cm}$$

Ponieważ, mamy, że skoro ma być: " pole trójkąta \(ACZ\) jest dwa razy większe niż pole trójkąta \(ABC\)", to wiemy, że skoro te trójkąty mają te same podstawy $AC$ a ma być, że mają pole \(ABC\) jest dwa razy mniejsze niż pole \(ACZ\) to musi być, że wysokość \(ABC\) jest dwa razy mniejsza niż wysokość \(ACZ\) upuszczona na bok $AC$.

Czyli innymi słowy można też powiedzieć, że odległość punktu $Z$ od prostej $AC$ jest dwa razy większa niż odległość punktu $B$ od prostej $AC$.

Więc skala podobieństwa (jak w fakciku \ref{fakcik-pomocniczy1-geometry}) jest równa 2.

A wiemy ponadto: skoro $W$ jest przecięciem $AC$ i $BD$ to musi być na prostej $AC$, czyli też na prostej $XY$ (prosta $XY$ jest taka sama jak $AC$).

Więc narysujmy okrąg $o$ o środku w $Z$ i promieniu równym 8cm.

Z podanych wcześniej definicji możemy powiedzieć, że $W$ jest przecięciem prostej $XY$ i okręgu $o$. Przy czym nieważne który punkt przecięcia wybierzemy (z dwóch możliwości).

Narysujmy teraz okrąg o promieniu 4cm i środku w $W$, oznaczmy ten okrąg $p$.

I teraz po kolei: punkty $A$ i $C$ to są różne przecięcia $p$ i prostej $XY$. Widzimy, że wtedy $|AC| = 8\ \text{cm}$.

Punkt $B$ jest przecięciem $p$ i prostej $ZW$. Przy czym na pewno mamy $\angle ABC = 90^\circ$, ponieważ $ABC$ jest wpisany w okrąg o średnicy $AC$.

Zapewnione jest też to, że odległość punktu $B$ od prostej $XY$ jest dwa razy mniejsze niż odległość punktu $Z$ od prostej $XY$. To wynika z konstrukcji punktu $W$. (Mamy przecież $|ZW| = 8\ \text{cm}$ i $|BW| = 4\ \text{cm}$, więc tutaj kolejne zastosowanie fakciku \ref{fakcik-pomocniczy1-geometry}).

A punkt $D$ możemy otrzymać po prostu odbijając punkt $B$ względem punktu $W$.

Jak widać wszystkie warunki konstrukcji są spełnione.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\textwidth]{img/74Z9.3.4_i2.jpg}
    \caption{Rysunek końcowy}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\textwidth]{img/74Z9.3.4_i3.jpg}
    \caption{Rysunek końcowy}
\end{figure}

\end{document}