Problem done/OMJ/III/3.1.1.tex

% Algebra

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{float}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{amsmath, amsthm}

\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}

\setmainfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{III OMG, etap 1, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}

\fontsize{15}{18}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Rozwiąż równanie
\[
\left|\left|\left|\left|x - 1\right| - 2\right| - 3\right| - 4\right| = 0
\]

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Przypomnijmy następujący fakcik (dla $y \in \mathbb{R}$):
\[
|y| = 0 \Longleftrightarrow y = 0
\]

Zatem mamy do rozwiązania coś takiego:
\begin{align*}
    \left|\left|\left|x - 1\right| - 2\right| - 3\right| - 4 &= 0 \\
    \left|\left|\left|x - 1\right| - 2\right| - 3\right| &= 4
\end{align*}

Przypomnijmy kolejny fakcik: (dla $z \geq 0$)
\[
|y| = z \Longleftrightarrow y = \pm z
\]

Innymi słowy:
\[
y = -z \vee y = z
\]

Zapiszmy pierwszy przypadek:
\begin{align*}
\left|\left|x - 1\right| - 2\right| - 3 &= 4 \\
\left|\left|x - 1\right| - 2\right| &= 7
\end{align*}

Na razie go zapamiętajmy i zobaczmy co się dzieje w drugim przypadku:
\begin{align*}
\left|\left|x - 1\right| - 2\right| - 3 &= -4 \\
\left|\left|x - 1\right| - 2\right| &= -1
\end{align*}

Zauważmy, że wartość bezwględna nie może być ujemna. 
Czyli w tym drugim przypadku nie mamy żadnego rozwiązania!

Wróćmy do pierwszego i rozpiszmy ponownie na dwa przypadki:
\begin{align*}
\left|x - 1\right| - 2 &= -7 \\
\left|x - 1\right| &= -5
\end{align*}

Znowu sprzeczność! Sprawdźmy drugi przypadek:
\begin{align*}
\left|x - 1\right| - 2 &= 7 \\
\left|x - 1\right| &= 9
\end{align*}

Okej, tu już zaczyna być spoko! Znowu rozpiszmy:
\begin{align*}
x - 1 &= 9 \\
x &= 10
\end{align*}

Drugi przypadek:
\begin{align*}
x - 1 &= -9 \\
x &= -8
\end{align*}

Wyszło nam, że $x \in \left\{-8, 10\right\}$.

Sprawdźmy czy oba rozwiązania spełniają pierwotne równanie (podstawiając; najpierw sprawdźmy $x=-8$):
\begin{align*}
\left|\left|\left|\left|x - 1\right| - 2\right| - 3\right| - 4\right| &= 0 \\
\left|\left|\left|\left|-8 - 1\right| - 2\right| - 3\right| - 4\right| &= 0 \\
\left|\left|\left|9 - 2\right| - 3\right| - 4\right| &= 0 \\
\left|\left|7 - 3\right| - 4\right| &= 0 \\
\left|4 - 4\right| &= 0 \\
0 &= 0
\end{align*}

Dobrze! Czyli $x = -8$ działa.

Teraz sprawdźmy $x = 10$:
\begin{align*}
\left|\left|\left|\left|x - 1\right| - 2\right| - 3\right| - 4\right| &= 0 \\
\left|\left|\left|\left|10 - 1\right| - 2\right| - 3\right| - 4\right| &= 0 \\
\left|\left|\left|9 - 2\right| - 3\right| - 4\right| &= 0 \\
\left|\left|7 - 3\right| - 4\right| &= 0 \\
\left|4 - 4\right| &= 0 \\
0 &= 0
\end{align*}

Również działa!

\textbf{Odpowiedź: } $x \in \left\{-8,10\right\}$.

\end{document}