\fontsize{15}{18}\selectfont
Problem Statement
Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite $a$, $b$, że suma cyfr każdej z nich
jest równa 2006, a suma cyfr liczby $a\cdot b$ jest równa $2006^2$
? Odpowiedź uzasadnij.
Solution:Twierdzę, że istnieją takie liczby $a$, $b$. Poniżej przykładowa konstrukcja:
\begin{align*}
a&=\underbrace{111\ldots11}_{2006}\\
b&=\underbrace{1\underbrace{000\ldots00}_{2005}\,1\underbrace{000\ldots00}_{2005}\ldots1\underbrace{000\ldots00}_{2005}}_{2006}
\end{align*}
Proof. Innymi słowy liczba $b$ jest liczbą złożoną z 2006 jednakowych bloków połączonych jeden obok drugiego.
Przy czym każdy blok składa się z jednej jedynki na początku oraz po tejże jedynce 2005 zer.
Zauważmy, że suma cyfr liczby $a$ to 2006 oraz liczby $b$ to również 2006.
(Bo jest 2006 bloków, a w każdym bloku suma cyfr to 1)
Ponadto, iloczyn $a\cdot b$ wygląda następująco:
\begin{align*}
a\cdot b&=\underbrace{111\ldots11}_{2006}\underbrace{111\ldots11}_{2006}\ldots\underbrace{111\ldots11}_{2006}\\
&=\underbrace{\underbrace{111\ldots11}_{2006}\underbrace{111\ldots11}_{2006}\ldots\underbrace{111\ldots11}_{2006}}_{2006}
\end{align*}
Czyli suma cyfr iloczynu to $2006\cdot2006 = 2006^2$.
Iloczyn wygląda tak jak wygląda, ponieważ długość bloku zer i jedynki w liczbie
$b$ (równa 2006) odpowiada dokładnie długości ciągu jedynek w liczbie
$a$, przy mnożeniu (dodawaniu przesuniętych kopii $a$)
nie następuje nakładanie się cyfr ani przeniesienie.
■
% NumberTheory, DigitSum, Constructive
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
headheight=50pt]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{float}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath, amsthm}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{II OMG, etap 1, zadanie 1}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\fontsize{15}{18}\selectfont
\section*{Problem Statement}
Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite $a$, $b$, że suma cyfr każdej z nich
jest równa 2006, a suma cyfr liczby $a\cdot b$ jest równa $2006^2$
? Odpowiedź uzasadnij.
\bigskip
\noindent\textbf{Solution:}
Twierdzę, że istnieją takie liczby $a$, $b$. Poniżej przykładowa konstrukcja:
\begin{align*}
a&=\underbrace{111\ldots11}_{2006}\\
b&=\underbrace{1\underbrace{000\ldots00}_{2005}\,1\underbrace{000\ldots00}_{2005}\ldots1\underbrace{000\ldots00}_{2005}}_{2006}
\end{align*}
\begin{proof}
Innymi słowy liczba $b$ jest liczbą złożoną z 2006 jednakowych bloków połączonych jeden obok drugiego.
Przy czym każdy blok składa się z jednej jedynki na początku oraz po tejże jedynce 2005 zer.
Zauważmy, że suma cyfr liczby $a$ to 2006 oraz liczby $b$ to również 2006.
(Bo jest 2006 bloków, a w każdym bloku suma cyfr to 1)
Ponadto, iloczyn $a\cdot b$ wygląda następująco:
\begin{align*}
a\cdot b&=\underbrace{111\ldots11}_{2006}\underbrace{111\ldots11}_{2006}\ldots\underbrace{111\ldots11}_{2006}\\
&=\underbrace{\underbrace{111\ldots11}_{2006}\underbrace{111\ldots11}_{2006}\ldots\underbrace{111\ldots11}_{2006}}_{2006}
\end{align*}
Czyli suma cyfr iloczynu to $2006\cdot2006 = 2006^2$.
Iloczyn wygląda tak jak wygląda, ponieważ długość bloku zer i jedynki w liczbie
$b$ (równa 2006) odpowiada dokładnie długości ciągu jedynek w liczbie
$a$, przy mnożeniu (dodawaniu przesuniętych kopii $a$)
nie następuje nakładanie się cyfr ani przeniesienie.
\end{proof}
\end{document}
Generated from:
./done/OMJ/II/2.1.1.tex