Problem done/OMJ/I/1.1.1.tex

% Algebra, Denesting

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{I OMG, etap 1, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{14}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Dowieść, że
$$\sqrt{3 - \sqrt{8}} + \sqrt{5 - \sqrt{24}} + \sqrt{7 - \sqrt{48}} = 1$$

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\textbf{Krok 1:} Spróbujmy zapisać $\sqrt{3 - \sqrt{8}}$ jako $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ dla dodatnich całkowitych $a$ i $b$, przy czym $a>b$:
\begin{align*}
    \sqrt{a} - \sqrt{b} &= \sqrt{3 - \sqrt{8}} \\
   (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 &= (\sqrt{3 - \sqrt{8}})^2 \\
   a + b - 2\sqrt{ab} &= 3 - \sqrt{8}
\end{align*}

Zauważmy, że skoro $a,b\in\mathbb{N}$ to musi być:
$$
\begin{cases}
    a + b = 3 \\
    2\sqrt{ab} = \sqrt{8}
\end{cases}
$$

Z pierwszego równania:
\begin{equation}
    \label{r1}
    a = 3 - b
\end{equation}

Z drugiego równania:
\begin{align*}
    & \sqrt{ab} = \frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2} \\
    \Rightarrow & ab = 2
\end{align*}

Rozwiązując to równanie diofantyczne daje nam dwie możliwości:

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
    \raggedright
    $$
    \begin{cases}
        a = 1 \\
        b = 2
    \end{cases}
    $$

\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
    \raggedright
    $$
    \begin{cases}
        a = 2 \\
        b = 1
    \end{cases}
    $$
\end{minipage}

Przy czym zakładaliśmy, że $a>b$, więc tylko to drugie jest dobre.

W takim razie mamy, że 
$$\sqrt{3 - \sqrt{8}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{2} - 1$$

\textbf{Krok 2:} Obliczenie \(\sqrt{5 - \sqrt{24}}\):

Zakładamy, że \(\sqrt{5 - \sqrt{24}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\) dla \(a, b \in \mathbb{N}\) i \(a > b\):
\begin{align*}
    (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 &= 5 - \sqrt{24} \\
    a + b - 2\sqrt{ab} &= 5 - \sqrt{24}
\end{align*}

Porównując części wymierne i niewymierne:
\[
\begin{cases}
    a + b = 5 \\
    2\sqrt{ab} = \sqrt{24} \implies \sqrt{ab} = \sqrt{6} \implies ab = 6
\end{cases}
\]

Rozwiązując układ równań:
\begin{itemize}
    \item Pary \((a, b)\) spełniające \(a + b = 5\) i \(ab = 6\): \((3, 2)\) lub \((2, 3)\).
    \item Z założenia \(a > b\) wybieramy \(a = 3\), \(b = 2\).
\end{itemize}

Zatem:
\[
\sqrt{5 - \sqrt{24}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}.
\]

\textbf{Krok 3:} Obliczenie \(\sqrt{7 - \sqrt{48}}\):

Zakładamy, że \(\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\) dla \(a, b \in \mathbb{N}\) i \(a > b\):
\begin{align*}
    (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 &= 7 - \sqrt{48} \\
    a + b - 2\sqrt{ab} &= 7 - \sqrt{48}
\end{align*}

Porównując części wymierne i niewymierne:
\[
\begin{cases}
    a + b = 7 \\
    2\sqrt{ab} = \sqrt{48} \implies \sqrt{ab} = \sqrt{12} \implies ab = 12
\end{cases}
\]

Rozwiązując układ równań:
\begin{itemize}
    \item Pary \((a, b)\) spełniające \(a + b = 7\) i \(ab = 12\): \((4, 3)\) lub \((3, 4)\).
    \item Z założenia \(a > b\) wybieramy \(a = 4\), \(b = 3\).
\end{itemize}

Ponieważ \(\sqrt{4} = 2\), otrzymujemy:
\[
\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}.
\]

Sumując to wszystko otrzymujemy:
$$\sqrt{3 - \sqrt{8}} + \sqrt{5 - \sqrt{24}} + \sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} = 2 - 1 = 1$$

Co należało dowieść.

\end{document}