Problem done/OMJ/I/1.1.2.tex

% Geometry, Quadrilaterals, Algebra

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{I OMG, etap 1, zadanie 2}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{18}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Dany jest czworokąt wypukły o następujących własnościach:
\begin{itemize}
    \item w czworokąt można wpisać okrąg,
    \item przekątne czworokąta są prostopadłe.
\end{itemize}
Dowieść, że jedna z przekątnych czworokąta dzieli drugą na połowy.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\textbf{Sposób 1. (algebraiczny)}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.8\textwidth]{img/1.1.2_i1.jpg}
    \caption{Czworokąt}
    \label{fig:r}
\end{figure}

Wprowadźmy oznaczenia tak jak na rysunku.

Z warunku, że w czworokąt można wpisać okrąg otrzymujemy:
\begin{equation}
    \label{e0}
    a + c = b + d
\end{equation}

Skoro przekątne są prostopadłe, to zapiszmy dla każdego z czterech powstałych trójkątów twierdzenie Pitagorasa:
\begin{align}
    \label{e1} e_1^2+f_1^2&=a^2\\
    \label{e2} e_2^2+f_1^2&=d^2\\
    \label{e3} e_1^2+f_2^2&=b^2\\
    \label{e4} e_2^2+f_2^2&=c^2
\end{align}

Sumując \eqref{e1} z \eqref{e4} otrzymujemy:
\begin{equation}
    \label{e5}
    e_1^2+f_1^2+e_2^2+f_2^2 = a^2 + c^2
\end{equation}

Sumując \eqref{e2} z \eqref{e3} otrzymujemy:
\begin{equation}
    \label{e6}
    e_1^2+f_1^2+e_2^2+f_2^2 = b^2 + d^2
\end{equation}

Z \eqref{e5} i \eqref{e6} wynika, że
\begin{equation}
    \label{e7}
    a^2 + c^2 = b^2 + d^2
\end{equation}

Wyznaczmy z \eqref{e0} $c$:
\begin{equation}
    \label{e8}
    c = b + d - a
\end{equation}

Wstawmy otrzymaną wartość $c$ w \eqref{e8} do \eqref{e7}
\begin{align*}
    a^2 + c^2 &= b^2 + d^2 \\
    a^2 + (b+d-a)^2 &= b^2 + d^2 \\
    a^2 + (b^2 + d^2 + a^2 + 2bd - 2ab - 2ad) &= b^2 + d^2 \\
    2a^2 + 2bd - 2ab - 2ad &= 0 \\
    a^2 + bd - ab - ad &= 0 \\
    a^2 - ab + bd - ad &= 0 \\
    a(a - b) + d(b - a) &= 0 \\
    a(a - b) - d(a - b) &= 0 \\
    (a - b)(a - d) &= 0
\end{align*}

Czyli wyszło nam:
\begin{equation}
    \label{e9}
    (a - b)(a - d) = 0
\end{equation}

Stąd mamy dwa przypadki:
\begin{enumerate}
    \item \label{p1} $a = b$
    \item \label{p2} $a = d$
\end{enumerate}

Rozważmy najpierw przypadek \ref{p1}. Podstawmy $a = b$ do \eqref{e0}:
\begin{align*}
    a + c &= b + d \\
    a + c &= a + d \\
    c &= d
\end{align*}

Czyli w przypadku \ref{p1} otrzymujemy, że:
$$
a = b \quad c = d
$$

Czyli nasz czworokąt jest deltoidem.

Analogicznie robiąc przypadek \ref{p2}. Podstawmy $a = d$ do \eqref{e0}:
\begin{align*}
    a + c &= b + d \\
    d + c &= b + d \\
    c &= b
\end{align*}

Czyli w przypadku \ref{p2} otrzymujemy, że:
$$
a = d \quad b = c
$$

Czyli nasz czworokąt jest deltoidem.

W obu przypadkach wyszło nam, że czworokąt jest deltoidem. 
Bez straty ogólności załóżmy, przeto, że $a = d,\, b = c$

Spójrzmy na równania \eqref{e1} i \eqref{e2}:
\begin{align*}
    e_1^2+f_1^2&=a^2\\
    e_2^2+f_1^2&=d^2
\end{align*}

Podstawiając $a=d$ do \eqref{e2} otrzymujemy:
\begin{equation}
    \label{e10}
    e_2^2+f_1^2=a^2
\end{equation}

Z \eqref{e10} i \eqref{e1} wynika, że:
\begin{align*}
    e_1^2+f_1^2 &= e_2^2+f_1^2 \\
    e_1^2 &= e_2^2 \\
    e_1 &= e_2
\end{align*}

Co należało dowieść. \qed

\textbf{Sposób 2. (geometryczny)}

Wyznaczamy bez straty ogólności, że $a = d$ i $b = c$ tak jak w przypadku pierwszym.

Popatrzmy na dwa trójkąty: ten "górny" co ma boki $a$, $b$ i $f_1 + f_2$ 
oraz na ten "dolny" co ma boki $d$, $c$ i $f_1 + f_2$.

Zauważmy, że z $a = d$ i $b = c$ wynika, że oba trójkąty mają jednakowe boki. Czyli są przystające.

A skoro są przystające to ich wysokości są równe, czyli $e_1 = e_2$. Co należało dowieść. \qed

\end{document}