Problem done/OMJ/I/1.1.4.tex

% Algebra, sof

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{I OMG, etap 1, zadanie 4}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{18}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania układu równań
$$
\begin{cases}
25x^2 + 9y^2 = 12yz \\
9y^2 + 4z^2 = 20xz \\
4z^2 + 25x^2 = 30xy
\end{cases}
$$
w liczbach rzeczywistych $x$, $y$, $z$.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Zsumujmy wszystkie równania:
\begin{align*}
    25x^2 + 9y^2 + 9y^2 + 4z^2 + 4z^2 + 25x^2 &= 12yz + 20xz + 30xy
\end{align*}

Dajmy wszystkie wyrażenia na jedną stronę:
\begin{align*}
    25x^2 + 9y^2 + 9y^2 + 4z^2 + 4z^2 + 25x^2 - 12yz - 20xz - 30xy &= 0
\end{align*}

Pogrupujmy:
\begin{align*}
    (25x^2 - 30xy + 9y^2) + (9y^2 - 12yz + 4z^2) + (4z^2 - 20xz + 25x^2) &= 0
\end{align*}

Zwińmy używając wzoru skróconego mnożenia $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
\begin{align*}
    (5x-3y)^2 + (3y - 2z)^2 + (2z-5x)^2 &= 0
\end{align*}

Zauważmy, że kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze \textbf{nieujemny} ($\geq0$).
Stąd wynika, że wszystkie nasze wyrażenia są równe zero.

$$
\begin{cases}
    5x-3y=0\\
    3y-2z=0\\
    2z-5x=0\\
\end{cases}
\Longrightarrow
\begin{cases}
    5x=3y\\
    3y=2z\\
    2z=5x\\
\end{cases}
$$

Zauważmy, że jest to układ nieoznaczony. Podstawiając pierwsze do drugiego otrzymujemy:
$$
5x = 2z
$$

Zauważmy, że jest to to samo co równanie trzecie.

Czyli innymi słowy mamy nieskończenie wiele rozwiązań naszego układu równań.

Niech $x$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą $t$.
Wtedy z pierwszego równania otrzymujemy $y=\frac{5}{3}t$, a z trzeciego $z=\frac{5}{2}t$.

\textbf{Odpowiedź: } $(x,y,z) = (t,\frac{5}{3}t,\frac{5}{2}t)$, gdzie $t\in\mathbb{R}$.

\end{document}