Problem done/OMJ/I/1.2.1.tex

Geometry3DPrismPyramid
← Back
\fontsize{15}{15}\selectfont

Problem Statement

Pewien graniastosłup ma dwa razy więcej wierzchołków niż pewien ostrosłup. Który z tych wielościanów ma więcej ścian i o ile więcej?
Solution:
Załóżmy, że graniastosłup ma w podstawie $n$-kąt, a ostrosłup ma w podstawie $m$-kąt.
Wtedy wiemy, że graniastosłup ma:
Wiemy, że ostrosłup ma:
Dlatego możemy ułożyć następujące równanie (ze względu na liczbę wierzchołków): $$2n = 2(m+1)$$
Dzieląc obustronnie przez 2 otrzymujemy: \begin{equation} \label{r1} n = m + 1 \end{equation}
Czyli innymi słowy, z tej równości \eqref{r1} wynika, że nasz ostrosłup ma dokładnie $n$ ścian. (Bo wcześniej sobie powiedzieliśmy, że ma $m+1$ ścian, a przecież to jest równe $n$)
A graniastosłup ma po prostu swoje $n+2$ ściany.
Czyli widać, że graniastosłup ma o dwie ściany więcej niż ostrosłup.
Odpowiedź: Graniastosłup ma o dwie ściany więcej niż ostrosłup.
% Geometry, 3D, Prism, Pyramid

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{3d,calc}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{I OMG, etap 2, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Pewien graniastosłup ma dwa razy więcej wierzchołków niż pewien ostrosłup. Który z tych wielościanów ma więcej ścian i o ile więcej?
\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Załóżmy, że graniastosłup ma w podstawie $n$-kąt, a ostrosłup ma w podstawie $m$-kąt.

Wtedy wiemy, że graniastosłup ma:
\begin{itemize}
    \item $2n$ wierzchołków, ponieważ podstawa dolna ma $n$ wierzchołków i podstawa górna ma tyle samo wierzchołków, czyli w sumie $2n$ 
    \item $n+2$ ściany, bo $n$ ścian bocznych oraz dodatkowo dwie podstawy, stąd łącznie $n+2$
\end{itemize}

Wiemy, że ostrosłup ma:
\begin{itemize}
    \item $m+1$ wierzchołków, ponieważ $m$ wierzchołków w podstawie oraz jeden jako czubek, dlatego w sumie jest ich $m+1$
    \item $m+1$ ścian, ponieważ $m$ ścian bocznych oraz dodatkowo jedna podstawa, stąd łącznie $m+1$
\end{itemize}

Dlatego możemy ułożyć następujące równanie (ze względu na liczbę wierzchołków):
$$2n = 2(m+1)$$

Dzieląc obustronnie przez 2 otrzymujemy:
\begin{equation}
    \label{r1}
    n = m + 1
\end{equation}

Czyli innymi słowy, z tej równości \eqref{r1} wynika, że nasz ostrosłup ma dokładnie $n$ ścian. (Bo wcześniej sobie powiedzieliśmy, że ma $m+1$ ścian, a przecież to jest równe $n$)

A graniastosłup ma po prostu swoje $n+2$ ściany.

Czyli widać, że graniastosłup ma o dwie ściany więcej niż ostrosłup.

\textbf{Odpowiedź:} Graniastosłup ma o dwie ściany więcej niż ostrosłup.

\vspace{1cm}

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
    \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=1.3]
        \def\n{6} % liczba boków podstawy
        \def\r{1} % promień okręgu wpisanego
        \def\h{1.5} % wysokość graniastosłupa

        % Rysuj podstawy
        \foreach \i in {1,...,\n} {
            \coordinate (B\i) at ({\r*cos(360/\n * \i)}, {\r*sin(360/\n * \i)});
            \coordinate (T\i) at ({\r*cos(360/\n * \i)}, {\r*sin(360/\n * \i) + \h});
        }

        % Dolna podstawa
        \draw[thick] (B1) \foreach \i in {2,...,\n} { -- (B\i)} -- cycle;

        % Górna podstawa
        \draw[thick] (T1) \foreach \i in {2,...,\n} { -- (T\i)} -- cycle;

        % Krawędzie boczne
        \foreach \i in {1,...,\n} {
            \draw[thick] (B\i) -- (T\i);
        }
    \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
    \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=1.3,rotate=225]
        \def\m{5}
        \def\r{1}
        \def\h{2}

        % Wierzchołki podstawy
        \foreach \i in {1,...,\m} {
            \coordinate (P\i) at ({\r*cos(360/\m * \i)}, {\r*sin(360/\m * \i)});
        }

        % Wierzchołek górny
        \coordinate (V) at (-0.5,-1,\h);

        % Rysuj podstawę
        \draw[thick] (P1) \foreach \i in {2,...,\m} { -- (P\i)} -- cycle;

        % Krawędzie do wierzchołka
        \foreach \i in {1,...,\m} {
            \draw[thick] (P\i) -- (V);
        }

        % Ukrycie perspektywy (opcjonalnie: tylko rzut 2D)
    \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{minipage}

\end{document}
Generated from: ./done/OMJ/I/1.2.1.tex