Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$, w którym $\angle BAC = 45^\circ$. Wysokości
tego trójkąta przecinają się w punkcie $H$. Wykaż, że $|AH| = |BC|$.Solution:
Figure 1: Konfiguracja początkowaOznaczmy przez $X$ spodek wysokości na bok $AB$ oraz przez $Y$ spodek wysokości na bok $BC$.Zauważmy, że $\angle XAC = \angle BAC$, ponieważ punkty $B$, $X$, $A$ są współliniowe (definicja spodka wysokości).Wtedy zauważmy, że w trójkącie $AXC$ mamy $\angle XAC = 45^\circ$ oraz $\angle CXA = 90^\circ$. A to nam daje $\angle ACX = 45^\circ$ (suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$).A z powyższego wynika, że $\angle ACX = \angle XAC = 45^\circ$, czyli trójkąt $AXC$ jest równoramienny, przy czym $|CX|=|AX|$ (patrz rys. Figure 2).
Figure 2: Trójkąt $AXC$ równoramiennyOznaczmy $\angle HAC = \alpha$. Wtedy $\angle HAX = 45^\circ - \alpha$. A z tego wynika, że $\angle XHA = 45^\circ + \alpha$ (suma kątów w trójkącie $XHA$ wynosi $180^\circ$).Ale $\angle YHC = \angle XHA = 45^\circ + \alpha$ (kąty wierzchołkowe).To nam daje $\angle HCB = 45^\circ - \alpha$ (suma kątów w trójkącie $HYC$ wynosi $180^\circ$).Ale to nam daje $\angle CBX = 45^\circ + \alpha$ (suma kątów w trójkącie $CBX$ wynosi $180^\circ$) (patrz rys. Figure 3).Ale zauważmy, że w takiej konfiguracji trójkąty $CBX$ i $AHX$ są przystające z cechy kąt-bok-kąt. ($|AX| = |CX|$, $\angle HAX = \angle XCB$, $\angle AXH = \angle CXB$)A skoro są przystające to mamy $|AH|=|BC|$.Co należało dowieść.
Figure 3: Wszystkie kąty oznaczone
% Geometry, Triangles
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
headheight=50pt, a4paper]{geometry}
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{I OMG, etap 2, zadanie 3}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont
\section*{Problem Statement}
Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$, w którym $\angle BAC = 45^\circ$. Wysokości
tego trójkąta przecinają się w punkcie $H$. Wykaż, że $|AH| = |BC|$.
\bigskip
\noindent\textbf{Solution:}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth]{img/1.2.3_i1.jpg}
\caption{Konfiguracja początkowa}
\label{fig:r}
\end{figure}
Oznaczmy przez $X$ spodek wysokości na bok $AB$ oraz przez $Y$ spodek wysokości na bok $BC$.
Zauważmy, że $\angle XAC = \angle BAC$, ponieważ punkty $B$, $X$, $A$ są współliniowe (definicja spodka wysokości).
Wtedy zauważmy, że w trójkącie $AXC$ mamy $\angle XAC = 45^\circ$ oraz $\angle CXA = 90^\circ$. A to nam daje $\angle ACX = 45^\circ$ (suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$).
A z powyższego wynika, że $\angle ACX = \angle XAC = 45^\circ$, czyli trójkąt $AXC$ jest równoramienny, przy czym $|CX|=|AX|$ (patrz rys. \ref{fig:r2}).
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth]{img/1.2.3_i2.jpg}
\caption{Trójkąt $AXC$ równoramienny}
\label{fig:r2}
\end{figure}
Oznaczmy $\angle HAC = \alpha$. Wtedy $\angle HAX = 45^\circ - \alpha$. A z tego wynika, że $\angle XHA = 45^\circ + \alpha$ (suma kątów w trójkącie $XHA$ wynosi $180^\circ$).
Ale $\angle YHC = \angle XHA = 45^\circ + \alpha$ (kąty wierzchołkowe).
To nam daje $\angle HCB = 45^\circ - \alpha$ (suma kątów w trójkącie $HYC$ wynosi $180^\circ$).
Ale to nam daje $\angle CBX = 45^\circ + \alpha$ (suma kątów w trójkącie $CBX$ wynosi $180^\circ$) (patrz rys. \ref{fig:r4}).
Ale zauważmy, że w takiej konfiguracji trójkąty $CBX$ i $AHX$ są przystające z cechy kąt-bok-kąt. ($|AX| = |CX|$, $\angle HAX = \angle XCB$, $\angle AXH = \angle CXB$)
A skoro są przystające to mamy $|AH|=|BC|$.
Co należało dowieść.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth]{img/1.2.3_i4.jpg}
\caption{Wszystkie kąty oznaczone}
\label{fig:r4}
\end{figure}
\end{document}
