Dany jest sześciokąt wypukły $ABCDEF$ o kątach przy wierzchołkach $A$,
$B$, $C$, $D$ równych odpowiednio $90^\circ$, $128^\circ$, $142^\circ$, $90^\circ$. Wykaż, że pole tego
sześciokąta jest mniejsze niż
$\frac{1}{2}\cdot |AD|^2$.% Solution:
Figure 1: Sześciokąt $ABCDEF$ i jego konfiguracja kątowaZauważmy, że kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ są proste, tj. równe $90^\circ$. Zatem odcinki wychodzące z tych wierzchołków — $AB$, $AF$ oraz $DC$, $DE$ — są względem siebie prostopadłe. Rozszerzmy te odcinki poza wielokąt i skonstruujmy kwadrat, którego przekątną jest odcinek $AD$.
Figure 2: Kwadrat zbudowany na przekątnej $AD$Ponieważ oba kąty przy końcach odcinka $AD$ są proste, możemy dobudować do niego kwadrat o przekątnej $AD$. Taki kwadrat ma pole:\[
P = \left(\frac{|AD|}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} |AD|^2
\]Teraz zauważmy, że kąty przy wierzchołkach $B$ i $C$ są odpowiednio $128^\circ$ i $142^\circ$, czyli większe niż $90^\circ$. To oznacza, że kolejne wierzchołki $B$ i $C$ są wypychane „na zewnątrz” względem odcinka $AD$, ale ponieważ cały sześciokąt jest wypukły, a kąty przy $A$ i $D$ są proste, wierzchołki $B$, $C$, $E$, $F$ muszą znajdować się wewnątrz lub na krawędziach skonstruowanego kwadratu.Inaczej mówiąc, konstrukcja i wypukłość wymuszają, że cały sześciokąt $ABCDEF$ mieści się wewnątrz kwadratu o przekątnej $AD$.Zatem pole sześciokąta jest mniejsze niż pole tego kwadratu:\[
\text{Pole sześciokąta} < \frac{1}{2} |AD|^2
\] $\blacksquare$
% Geometry
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemat}[section]
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1.5cm, includeheadfoot,
headheight=50pt, a4paper]{geometry}
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{I OMG, etap 2, zadanie 5}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont
\section*{Problem Statement}
Dany jest sześciokąt wypukły $ABCDEF$ o kątach przy wierzchołkach $A$,
$B$, $C$, $D$ równych odpowiednio $90^\circ$, $128^\circ$, $142^\circ$, $90^\circ$. Wykaż, że pole tego
sześciokąta jest mniejsze niż
$\frac{1}{2}\cdot |AD|^2$.
% \bigskip
\noindent\textbf{Solution:}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=.5\textwidth]{img/1.2.5_i2.jpg}
\caption{Sześciokąt $ABCDEF$ i jego konfiguracja kątowa}
\end{figure}
Zauważmy, że kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ są proste, tj. równe $90^\circ$. Zatem odcinki wychodzące z tych wierzchołków — $AB$, $AF$ oraz $DC$, $DE$ — są względem siebie prostopadłe. Rozszerzmy te odcinki poza wielokąt i skonstruujmy kwadrat, którego przekątną jest odcinek $AD$.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.7\textwidth]{img/1.2.5_i1.jpg}
\caption{Kwadrat zbudowany na przekątnej $AD$}
\label{r1}
\end{figure}
Ponieważ oba kąty przy końcach odcinka $AD$ są proste, możemy dobudować do niego kwadrat o przekątnej $AD$. Taki kwadrat ma pole:
\[
P = \left(\frac{|AD|}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} |AD|^2
\]
Teraz zauważmy, że kąty przy wierzchołkach $B$ i $C$ są odpowiednio $128^\circ$ i $142^\circ$, czyli większe niż $90^\circ$. To oznacza, że kolejne wierzchołki $B$ i $C$ są wypychane „na zewnątrz” względem odcinka $AD$, ale ponieważ cały sześciokąt jest wypukły, a kąty przy $A$ i $D$ są proste, wierzchołki $B$, $C$, $E$, $F$ muszą znajdować się wewnątrz lub na krawędziach skonstruowanego kwadratu.
Inaczej mówiąc, konstrukcja i wypukłość wymuszają, że cały sześciokąt $ABCDEF$ mieści się wewnątrz kwadratu o przekątnej $AD$.
Zatem pole sześciokąta jest mniejsze niż pole tego kwadratu:
\[
\text{Pole sześciokąta} < \frac{1}{2} |AD|^2
\]
\hfill $\blacksquare$
\end{document}
