Problem done/OMJ/XIX/19.2.1.tex

% Algebra, DiophantineEquations, NumberTheory, Integers

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{parcolumns}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XIX OMJ, etap 2, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Liczby całkowite $a$, $b$ oraz $c$ są takie, że iloczyny
$$a\cdot(b+c) \quad \text{oraz} \quad b\cdot(a+c)$$
są dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi. Wykaż, że co najmniej jeden z tych iloczynów jest kwadratem liczby całkowitej.
\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Bez straty ogólności załóżmy, że:
\begin{equation}
\label{r1}
a\cdot(b+c) = b\cdot(a+c) + 1
\end{equation}

Teraz poróbmy parę podstawowych przekształceń algebraicznych:
\begin{align*}
a\cdot(b+c) &= b\cdot(a+c) + 1 \\
ab+ac &= ba+bc + 1 \\
ac &= bc + 1 \\
ac - bc &= 1 \\
c(a-b) &= 1
\end{align*}

Skoro $a,b,c \in \mathbb{Z}$ to mamy dwie możliwości:

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
    \raggedright
    \begin{align*}
        & \begin{cases}
            c = 1 \\
            a - b = 1
        \end{cases} \\[1ex]
        \Rightarrow\quad & 
        \begin{cases}
            c = 1 \\
            a = 1 + b
        \end{cases}
    \end{align*}
    
    \vspace{1ex}
    Podstawiając do równości~\eqref{r1} otrzymujemy:
    \begin{align*}
        a(b+c) &= b(a+c) + 1 \\
        (b+1)(b+1) &= b(b+2)+1 \\
        (b+1)^2 &= b(b+2)+1
    \end{align*}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
    \raggedright
    \begin{align*}
        & \begin{cases}
            c = -1 \\
            a - b = -1
        \end{cases} \\[1ex]
        \Rightarrow\quad & 
        \begin{cases}
            c = -1 \\
            a = -1 + b
        \end{cases}
    \end{align*}
    
    \vspace{1ex}
    Podstawiając do równości~\eqref{r1} otrzymujemy:
    \begin{align*}
        a(b+c) &= b(a+c) + 1 \\
        (b-1)(b-1) &= b(b-2)+1 \\
        (b-1)^2 &= b(b-2)+1
    \end{align*}
\end{minipage}

\vspace{2em}
W obu przypadkach otrzymujemy, że iloczyn po lewej jest kwadratem liczby całkowitej. Co należało dowieść.

\end{document}