Problem done/OMJ/XIX/19.2.3.tex

\fontsize{15}{15}\selectfont

Problem Statement

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$. Punkt $P$ leży na odcinku $AC$, przy czym $$\angle BPC = \angle BAD = \angle ABC = \angle ACB.$$ Wykaż, że $AP = CD$.

Solution:

Po pierwsze: oznaczmy: $$\angle BPC = \angle BAD = \angle ABC = \angle ACB = \alpha.$$

Oraz: $\gamma = 180^\circ - \alpha$.

Zauważmy, że trapez $ABCD$ jest równoramienny równoramienny, ponieważ oba kąty przy jego podstawie $AB$ są równe $\alpha$. Co oznacza, że: $$\angle CDA = \angle BCD = \gamma.$$

A skoro $\angle BCD = \gamma$ to $\angle ACD = \gamma - \alpha$. A zatem w trójkącie $ACD$ jako, iż suma wszystkich kątów ma być $180^\circ$ to mamy, że: \begin{align*} \angle DAC &= 180^\circ - \angle ACD - \angle CDA \\ &= 180^\circ - (\gamma - \alpha) - \gamma \\ &= 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) - 180^\circ - \alpha \\ &= 3\alpha - 180^\circ \end{align*}

Ponadto: $\angle BPA = 180^\circ - \alpha = \gamma$ ponieważ jest to kąty $BPA$ i $CPB$ są przyległe.

Wiemy również, że: \begin{align*} \angle PAB &= \angle DAB - \angle DAC \\ &= \alpha - (3\alpha - 180^\circ) \\ &= 180^\circ - 2\alpha \\ &= \gamma - \alpha \end{align*}

Ponownie używając fakciku, że w trójkącie suma kątów ma być $180^\circ$ – popatrzmy teraz na trójkąt $ABP$: \begin{align*} \angle ABP &= 180^\circ - \angle BPA - \angle PAB \\ &= 180^\circ - \gamma - (\gamma - \alpha) \\ &= 180^\circ - (180^\circ - \alpha) - (180^\circ - 2\alpha) \\ &= 3\alpha - 180^\circ \end{align*}

Ponadto: widzimy, że trójkąt $BCP$ jest równoramienny, przy czym $|CB| = |PB|$. Ale skoro trapez jest równoramienny to mamy też $|CB| = |AD|$. (patrz rys. Figure 2)

A więc teraz bardzo ważny fakcik: trójkąty $ACD$ i $ABP$ są przystające na podstawie cechy kąt-bok-kąt. Uzasadnienie: $\angle BPA = \angle CDA$, $|PB| = |AD|$, $\angle ABP = \angle DAC$.

A skoro są przystające, to: $|AP| = |CD|$. Co należało dowieść.

% Geometry, Trapezoid, Triangles

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XIX OMJ, etap 2, zadanie 3}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$. Punkt $P$
leży na odcinku $AC$, przy czym
$$\angle BPC = \angle BAD = \angle ABC = \angle ACB.$$
Wykaż, że $AP = CD$.
\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.8\textwidth]{img/19.2.3_i1.jpg}
    \caption{Konfiguracja początkowa}
    % \label{fig:rys0}
\end{figure}

Po pierwsze: oznaczmy: 
$$\angle BPC = \angle BAD = \angle ABC = \angle ACB = \alpha.$$

Oraz: $\gamma = 180^\circ - \alpha$.

Zauważmy, że trapez $ABCD$ jest równoramienny \underline{\textbf{równoramienny}}, ponieważ oba kąty przy jego podstawie $AB$ są równe $\alpha$. Co oznacza, że:
$$\angle CDA = \angle BCD = \gamma.$$

A skoro $\angle BCD = \gamma$ to $\angle ACD = \gamma - \alpha$. A zatem w trójkącie $ACD$ jako, iż suma wszystkich kątów ma być $180^\circ$ to mamy, że: 
\begin{align*}
\angle DAC &= 180^\circ - \angle ACD - \angle CDA \\
&= 180^\circ - (\gamma - \alpha) - \gamma \\
&= 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) - 180^\circ - \alpha \\
&= 3\alpha - 180^\circ
\end{align*}

Ponadto: $\angle BPA = 180^\circ - \alpha = \gamma$ ponieważ jest to kąty $BPA$ i $CPB$ są przyległe.

Wiemy również, że: 
\begin{align*}
\angle PAB &= \angle DAB - \angle DAC \\
&= \alpha - (3\alpha - 180^\circ) \\
&= 180^\circ - 2\alpha \\
&= \gamma - \alpha 
\end{align*}

Ponownie używając \textbf{fakciku}, że w trójkącie suma kątów ma być $180^\circ$ – popatrzmy teraz na trójkąt $ABP$:
\begin{align*}
\angle ABP &= 180^\circ - \angle BPA - \angle PAB \\
&= 180^\circ - \gamma - (\gamma - \alpha) \\
&= 180^\circ - (180^\circ - \alpha) - (180^\circ - 2\alpha) \\
&= 3\alpha - 180^\circ
\end{align*}

Ponadto: widzimy, że trójkąt $BCP$ jest równoramienny, przy czym $|CB| = |PB|$. Ale skoro trapez jest równoramienny to mamy też $|CB| = |AD|$. (patrz rys. \ref{fig:r1})

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.8\textwidth]{img/19.2.3_i2.jpg}
    \caption{Zaznaczone kąty}
    \label{fig:r1}
\end{figure}

A więc teraz \textbf{bardzo ważny fakcik}: trójkąty $ACD$ i $ABP$ są przystające na podstawie cechy kąt-bok-kąt. Uzasadnienie: $\angle BPA = \angle CDA$, $|PB| = |AD|$, $\angle ABP = \angle DAC$.

A skoro są przystające, to: $|AP| = |CD|$. Co należało dowieść.

\end{document}