Dany jest prostokąt o obwodzie $x$ cm, w którym stosunek długości boków wynosi 1 : 2.
Załóżmy, że pole tego prostokąta jest równe $x$ cm$^2$. Wyznacz $x$.Solution:
%Figure 1: RysunekOznaczmy, że krótszy bok ma długość $y$ cm. Wtedy z treści zadania wiemy, że dłuższy bok ma długość $2y$ cm. (bo stosunek tychże boków ma być 1 : 2)Obwód tego prostokąta wynosi więc:
$$ 2\cdot y + 2\cdot 2y = 6y$$Pole tego prostokąta wynosi:
$$ y\cdot 2y = 2y^2 $$Ale z treści zadania wiemy, że pole i obwód są liczbowo-równe, przeto możemy ułożyć następujące równanie:
\begin{align*}
2y^2&=6y\\
2y&=6 \quad \text{Możemy podzielić przez $y$, bo jest to długość boku, przeto $y>0$}\\
y&=3\ \text{cm}
\end{align*}Skoro znamy $y$ to możemy wyliczyć $x$ chociażby z tego, że $x$ jest równe obwodowi:
$$ x = 6\cdot y = 6\cdot 3 = 18\ \text{cm.}$$Odpowiedź: $x = 18\ \text{cm}$.
% Geometry, Rectangle
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
headheight=50pt, a4paper]{geometry}
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XVIII OMJ, etap 1, zadanie 1}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont
\section*{Problem Statement}
Dany jest prostokąt o obwodzie $x$ cm, w którym stosunek długości boków wynosi 1 : 2.
Załóżmy, że pole tego prostokąta jest równe $x$ cm$^2$. Wyznacz $x$.
\bigskip
\noindent\textbf{Solution:}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth]{img/18.1.1_i1.jpg}
\caption{Rysunek}
% \label{fig:rys0}
\end{figure}
Oznaczmy, że krótszy bok ma długość $y$ cm. Wtedy z treści zadania wiemy, że dłuższy bok ma długość $2y$ cm. (bo stosunek tychże boków ma być 1 : 2)
Obwód tego prostokąta wynosi więc:
$$ 2\cdot y + 2\cdot 2y = 6y$$
Pole tego prostokąta wynosi:
$$ y\cdot 2y = 2y^2 $$
Ale z treści zadania wiemy, że pole i obwód są liczbowo-równe, przeto możemy ułożyć następujące równanie:
\begin{align*}
2y^2&=6y\\
2y&=6 \quad \text{Możemy podzielić przez $y$, bo jest to długość boku, przeto $y>0$}\\
y&=3\ \text{cm}
\end{align*}
Skoro znamy $y$ to możemy wyliczyć $x$ chociażby z tego, że $x$ jest równe obwodowi:
$$ x = 6\cdot y = 6\cdot 3 = 18\ \text{cm.}$$
\textbf{Odpowiedź:} $x = 18\ \text{cm}$.
\end{document}
%