Dany jest prostokąt $ABCD$. Punkt $E$ leży na boku $AB$, a punkt $F$
leży na odcinku $CE$. Wykaż, że jeśli trójkąty $ADE$ i $CDF$ mają równe
pola, to również trójkąty $BCE$ i $DEF$ mają równe pola.
%Figure 1: Rysunek z treściSolution:
%Figure 2: Rysunek z oznaczeniamiW zadaniu będziemy używać następującego oznaczenia: $P_{X_1\ldots X_k}$ to pole figury o wierzchołkach $X_1, \ldots, X_k$. Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku, tzn. $P_{ADE} = P_{CDF} = P$, $P_{BCE} = P_2$, $P_{DEF} = P_1$.Zauważmy, że w treści zadania jest napisane, że punkt $F$ jest na odcinku $CE$, co oznacza, że potrzebujemy rozpatrzeć co się dzieje w przypadkach, gdy $F=E$ i gdy $F=C$.Gdy $F=E$ to mamy taką sytuację, że odcinek $CE$ to tak naprawdę odcinek $CB$, czyli innymi słowy, żeby warunek z zadania o równości pól $P_{ADE}$ i $P_{CDF}$ był spełniony musi być, że $E=B$.Ale wtedy pola co mamy dowieść, że są równe, są po prostu równe 0.Kolejny przypadek: gdy $F=C$, to mamy podobnie, tyle że tym razem $E=A$ i $P = 0$, a $CA$ jest przekątną prostokąta więc dzieli go na pół.Okej, skoro te przypadki już rozpatrzone to przejdźmy do rozwiązania gdzie $F\neq C \neq E$.Zauważmy, że:
\begin{align*}
2P_2&=|CB|\cdot |EB| \\
&=|CB|\cdot (|AB|-|AE|) \\
&=|CB|\cdot |AB|- |CB|\cdot|AE| \\
&=P_{ABCD} - |AD|\cdot|AE| \quad \text{($|AD|=|CB|$, bo prostokąt)} \\
&=P_{ABCD} - 2P_{ADE} \\
&=P_{ABCD} - 2P
\end{align*}Czyli otrzymujemy:
\begin{equation}
\label{e1}
2P_2 = P_{ABCD} - 2P
\end{equation}Ale z drugiej strony wiemy, że pole prostokąta jest równe:
\begin{equation}
\label{e2}
P_{ABCD} = 2P + P_1 + P_2
\end{equation}Ale teraz podstawiając \eqref{e2} do \eqref{e1} otrzymujemy:\begin{align*}
2P_2 &= 2P + P_1 + P_2 - 2P \\
2P_2 &= P_1 + P_2 \\
P_2 &= P_1
\end{align*}Co należało dowieść.
% Geometry, Rectangle, Triangles
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
headheight=50pt, a4paper]{geometry}
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XVIII OMJ, etap 1, zadanie 3}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont
\section*{Problem Statement}
Dany jest prostokąt $ABCD$. Punkt $E$ leży na boku $AB$, a punkt $F$
leży na odcinku $CE$. Wykaż, że jeśli trójkąty $ADE$ i $CDF$ mają równe
pola, to również trójkąty $BCE$ i $DEF$ mają równe pola.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.3\textwidth]{img/18.1.3_i1.jpg}
\caption{Rysunek z treści}
% \label{fig:rys0}
\end{figure}
\bigskip
\noindent\textbf{Solution:}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.75\textwidth]{img/18.1.3_i2.jpg}
\caption{Rysunek z oznaczeniami}
% \label{fig:rys0}
\end{figure}
W zadaniu będziemy używać następującego oznaczenia: $P_{X_1\ldots X_k}$ to pole figury o wierzchołkach $X_1, \ldots, X_k$.
Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku, tzn. $P_{ADE} = P_{CDF} = P$, $P_{BCE} = P_2$, $P_{DEF} = P_1$.
Zauważmy, że w treści zadania jest napisane, że punkt $F$ jest na \textbf{odcinku} $CE$, co oznacza, że potrzebujemy rozpatrzeć co się dzieje w przypadkach, gdy $F=E$ i gdy $F=C$.
Gdy $F=E$ to mamy taką sytuację, że odcinek $CE$ to tak naprawdę odcinek $CB$, czyli innymi słowy, żeby warunek z zadania o równości pól $P_{ADE}$ i $P_{CDF}$ był spełniony musi być, że $E=B$.
Ale wtedy pola co mamy dowieść, że są równe, są po prostu równe 0.
Kolejny przypadek: gdy $F=C$, to mamy podobnie, tyle że tym razem $E=A$ i $P = 0$, a $CA$ jest przekątną prostokąta więc dzieli go na pół.
Okej, skoro te przypadki już rozpatrzone to przejdźmy do rozwiązania gdzie $F\neq C \neq E$.
Zauważmy, że:
\begin{align*}
2P_2&=|CB|\cdot |EB| \\
&=|CB|\cdot (|AB|-|AE|) \\
&=|CB|\cdot |AB|- |CB|\cdot|AE| \\
&=P_{ABCD} - |AD|\cdot|AE| \quad \text{($|AD|=|CB|$, bo prostokąt)} \\
&=P_{ABCD} - 2P_{ADE} \\
&=P_{ABCD} - 2P
\end{align*}
Czyli otrzymujemy:
\begin{equation}
\label{e1}
2P_2 = P_{ABCD} - 2P
\end{equation}
Ale z drugiej strony wiemy, że pole prostokąta jest równe:
\begin{equation}
\label{e2}
P_{ABCD} = 2P + P_1 + P_2
\end{equation}
Ale teraz podstawiając \eqref{e2} do \eqref{e1} otrzymujemy:
\begin{align*}
2P_2 &= 2P + P_1 + P_2 - 2P \\
2P_2 &= P_1 + P_2 \\
P_2 &= P_1
\end{align*}
Co należało dowieść.
\end{document}
%
%