Problem done/OMJ/XVIII/18.1.6.tex

% Combinatorics, Integers, Parity, Coloring, DiscreteGeometry

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XVIII OMJ, etap 1, zadanie 6}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

\textit{Plusem} nazwiemy przedstawioną na rysunku figurę złożoną z pięciu
kwadratów o boku 1, a \textit{minusem} — każdy prostokąt złożony z dwóch
takich kwadratów. Czy istnieje liczba nieparzysta $n$ o tej własności,
że kwadrat o boku $n$ można rozciąć na plusy i minusy? Odpowiedź
uzasadnij.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{img/18.1.6_i1.jpg}
    \caption{Rysunek z treści}
    % \label{fig:rys0}
\end{figure}

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Rozważamy kwadrat $n \times n$, gdzie $n$ jest nieparzysta. "Pokrójmy" ten kwadrat na kwadraty o boku długości 1. Jest tych kwadratów $n^2$.

Pokolorujmy (typowy motyw w takich zadankach) ten kwadrat jak szachownicę do gry w szachy, czyli zaczynając od lewego górnego rogu, kolorujemy ten na czarno. Sąsiadujące kwadraty z czarnymi kolorujemy na biało, a sąsiadujące z białymi na czarno.

Zauważmy, że ze względu na to, że $n$ jest nieparzyste, wszystkie rogi będą miały kolor czarny.

Jeśli pierwszy wiersz ma numer 1, to w nieparzystych wierszach mamy $\frac{n+1}{2}$ czarnych pól oraz $\frac{n-1}{2}$ białych.

W parzystych wierszach mamy $\frac{n+1}{2}$ białych pól oraz $\frac{n-1}{2}$ czarnych.

Ale ze względu na to, że $n$ jest nieparzysta, wiemy, że nieparzysta liczba wierszy będzie o jeden większa niż liczba parzystych wierszy.

Co oznacza, że liczba czarnych pól jest większa o dokładnie:
$$\frac{n+1}{2}-\frac{n-1}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$$

% Formalnie rzecz ujmując:
% \begin{itemize}
%     \item Liczba czarnych pól jest równa: $\sum_{i=1}^{i=n-1}\left(\frac{n+(-1)^{i+1}}{2}\right) + \frac{n+1}{2}$ 
%     \item A liczba białych pół jest równa: $\sum_{i=1}^{i=n-1}\left(\frac{n+(-1)^{i}}{2}\right) + \frac{n-1}{2}$ 
% \end{itemize}

Teraz zajmijmy się naszymi figurami.

Minus może zakryć dokładnie jedno pole białe i jedno pole czarne. Załóżmy, że jest $m$ minusów.

Jeśli chodzi o plusy to są dwie możliwości:
\begin{itemize}
    \item plus może mieć środek na białym polu, co oznacza, że pokoloruje 4 czarne pola i jedno białe. Załóżmy, że jest $b$ takich plusów.
    \item analogicznie, plus może mieć środek na czarnym polu, co oznacza, że pokoloruje 4 białe pola i jedno czarne. Załóżmy, że jest $c$ takich plusów.
\end{itemize}

Skoro wiemy, że czarnych pól jest o jeden więcej niż białych, to wykorzystajmy ten fakcik.

Czarnych pól, zgodnie z powyższymi założeniami, jest: $m + 4b + c$.

A białych pól jest $m + 4c + b$.

Czyli otrzymujemy takie równanie:
\begin{align*}
    (m + 4b + c) + 1 &= (m + 4c + b) \\
    4b + c + 1 &= 4c + b \\
    1 &= 4c + b - 4b - c \\
    1 &= 3c - 3b \\
    1 &= 3(c - b) \\
    \frac{1}{3} &= c - b
\end{align*}

Wiemy, że $c$ i $b$ to liczby całkowite, więc ich różnica nie może być równa liczbie niecałkowitej (w tym przypadku $\frac{1}{3}$).

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje $n$ spełniające warunki zadania.

Czyli podsumowując, pomysł z pokolorowaniem jakiejś planszy w styl na "szachownicę" to bardzo częsty i typowy motyw, który warto znać i stosować. 

\end{document}