Problem done/OMJ/XXI/21.1.2.tex

% NumberTheory, Divisibility, Integers

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXI OMJ, etap 1, zadanie 2}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Dodatnia liczba całkowita $n$ jest 21 razy większa od sumy swoich cyfr. Udowodnij, że liczba $n$
jest podzielna przez 9.
\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Oznaczmy przez $S$ sumę cyfr liczby $n$.

Znany fakcik jest taki, że aby liczba była podzielna przez 3 to jej suma cyfr ma być podzielna przez 3.

Zauważmy, że $21=3\cdot7$.

Czyli w szczególności, zauważmy, że nasza liczba jest wielokrotnością 3, więc jest podzielna przez 3.

Skoro jest podzielna przez 3 to suma jej cyfr też musi być podzielna przez 3 (znana zasada podzielności, patrz powyżej).

A skoro tak to możemy zapisać $S$ jako:
$$ S = 3k, \quad k\in\mathbb{Z}^+ $$

Więc rozpiszmy to:

\begin{align*}
    n &= 21 \cdot S \\
    n &= 3\cdot 3k \cdot 7 \\
    n &= 9 \cdot 7k
\end{align*}

Skoro $7k$ jest liczbą całkowitą, to $n$ jest podzielne przez 9. Co należało dowieść.

\end{document}