Problem done/OMJ/XXI/21.1.4.tex

AlgebraEquations
← Back
\fontsize{15}{15}\selectfont

Problem Statement

Niezerowe liczby rzeczywiste $a$, $b$ spełniają warunek $(a+b^2)(a^3+b^3)=a^4+b^5$. Wykaż, że $b < 0$.
Solution:
Wiemy, że $a,b\in\mathbb{R}_{\neq 0}$ (z treści zadania).
Rozpiszmy wyrażenie dane w zadaniu:
\begin{align*} (a+b^2)(a^3+b^3)&=a^4+b^5\\ a^4 + ab^3 + b^2a^3 + b^5 &=a^4+b^5\\ ab^3 + b^2a^3 &= 0 \quad \text{($a$\neq 0, podziel przez $a$)}\\ b^3 + b^2a^2 &= 0\\ b^2(b + a^2) &= 0\quad \text{($b$\neq 0, podziel przez $b^2$)}\\ b + a^2 &= 0\\ b &= -a^2 \end{align*}
Czyli otrzymujemy coś takiego: \begin{equation} b = -a^2 \end{equation}
Zauważmy, że $a^2$ jest zawsze dodatnie. Bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej, różnej od zera, jest dodatni.
A skoro tak to: \begin{align*} a^2 &> 0 \\ -a^2 &< 0 \\ b &< 0 \end{align*}
Co należało dowieść. 
% Algebra, Equations

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXI OMJ, etap 1, zadanie 4}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Niezerowe liczby rzeczywiste $a$, $b$ spełniają warunek $(a+b^2)(a^3+b^3)=a^4+b^5$. Wykaż, że $b < 0$. 
\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Wiemy, że $a,b\in\mathbb{R}_{\neq 0}$ (z treści zadania).

Rozpiszmy wyrażenie dane w zadaniu:

\begin{align*}
    (a+b^2)(a^3+b^3)&=a^4+b^5\\
    a^4 + ab^3 + b^2a^3 + b^5 &=a^4+b^5\\
    ab^3 + b^2a^3 &= 0 \quad \text{($a$\neq 0, podziel przez $a$)}\\
    b^3 + b^2a^2 &= 0\\
    b^2(b + a^2) &= 0\quad \text{($b$\neq 0, podziel przez $b^2$)}\\
    b + a^2 &= 0\\
    b  &= -a^2
\end{align*}

Czyli otrzymujemy coś takiego:
\begin{equation}
    b = -a^2
\end{equation}

Zauważmy, że $a^2$ jest \textbf{zawsze dodatnie}. Bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej, różnej od zera, jest dodatni.

A skoro tak to:
\begin{align*}
    a^2 &> 0 \\
    -a^2 &< 0 \\
    b &< 0
\end{align*}

Co należało dowieść.

\end{document}
Generated from: ./done/OMJ/XXI/21.1.4.tex