Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$. Punkt $P$ znajduje się wewnątrz trapezu
$ABCD$, przy czym
$AB = BP$, $DC = CP$ oraz $\angle BPC = 90^\circ$
.
Oblicz miarę kąta $APD$.
Solution:
Figure 1: Konfiguracja początkowaWprowadźmy oznaczenia jak na rysunku Figure 1. Czyli niech $\angle PAB = \alpha$ oraz $\angle CDP = \beta$ oraz $\angle APD = \gamma$.Naszym szukanym kątem jest kąt $\gamma$.Z równości $AB = BP$ wynika, że trójkąt $ABP$ jest równoramienny. Co z kolei oznacza, że $\angle BPA = \angle PAB = \alpha$.A skoro suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ to stąd
$$\angle ABP = 180^\circ - \angle BPA - \angle PAB = 180^\circ - 2\alpha$$.Analogicznie, z równości $DC = CP$ wynika, że trójkąt $CDP$ jest równoramienny. Co z kolei oznacza, że $\angle PDC = \angle CPD = \beta$.A skoro suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ to stąd
$$\angle DCP = 180^\circ - \angle PDC - \angle CPD = 180^\circ - 2\beta$$.Wprowadźmy dodatkowo oznacznia, że $\angle PBC = Y$ oraz $\angle PCB = X$. (patrz rys. Figure 2)
Figure 2: Wszystkie potrzebne oznaczenia na rysunkuZauważmy, że ze względu na to, że $\angle BPC = 90^\circ$ (dane w treści zadania), trójkąt $CPB$ jest prostokątny. A skoro suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ to stąd wynika, że:
\begin{align*}
90^\circ + X + Y &= 180^\circ \\
X + Y &= 90^\circ
\end{align*}Z drugiej strony mamy, że kąty przy jednym ramieniu trapezu są równe $180^\circ$, czyli w naszym przypadku:\begin{align*}
\angle DCB + \angle CBA &= 180^\circ \\
(180^\circ - 2\beta + X) + (Y + 180^\circ - 2\alpha) &= 180^\circ \\
360^\circ + (X + Y) - (2\alpha + 2\beta) &= 180^\circ \\
180^\circ + 90^\circ - (2\alpha + 2\beta) &= 0^\circ \\
(2\alpha + 2\beta) &= 270^\circ \\
\alpha + \beta &= 135^\circ
\end{align*}Ale również mamy to, że kąty $DPC$, $CPB$, $BPA$, $APD$ tworzą kąt pełny przy wierzchołku $P$, czyli ich suma jest równa $360^\circ$.\begin{align*}
\angle DPC + \angle CPB + \angle BPA + \angle APD &= 360^\circ \\
\beta + 90^\circ + \alpha + \gamma &= 360^\circ \\
(\beta + \alpha) + \gamma &= 270^\circ \\
135^\circ + \gamma &= 270^\circ \\
\gamma &= 135^\circ
\end{align*}A przecież $\gamma$ to jest wartość której szukaliśmy.Odpowiedź: $\angle APD = 135^\circ$.
% Geometry, Trapezoid
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
headheight=50pt, a4paper]{geometry}
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXI OMJ, etap 1, zadanie 5}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\fontsize{14}{14}\selectfont
\section*{Problem Statement}
Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$. Punkt $P$ znajduje się wewnątrz trapezu
$ABCD$, przy czym
$AB = BP$, $DC = CP$ oraz $\angle BPC = 90^\circ$
.
Oblicz miarę kąta $APD$.
\bigskip
\noindent\textbf{Solution:}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.7\textwidth]{img/21.1.5_2.jpg}
\caption{Konfiguracja początkowa}
\label{r1}
\end{figure}
Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku \ref{r1}. Czyli niech $\angle PAB = \alpha$ oraz $\angle CDP = \beta$ oraz $\angle APD = \gamma$.
Naszym szukanym kątem jest kąt $\gamma$.
Z równości $AB = BP$ wynika, że trójkąt $ABP$ jest równoramienny. Co z kolei oznacza, że $\angle BPA = \angle PAB = \alpha$.
A skoro suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ to stąd
$$\angle ABP = 180^\circ - \angle BPA - \angle PAB = 180^\circ - 2\alpha$$.
Analogicznie, z równości $DC = CP$ wynika, że trójkąt $CDP$ jest równoramienny. Co z kolei oznacza, że $\angle PDC = \angle CPD = \beta$.
A skoro suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ to stąd
$$\angle DCP = 180^\circ - \angle PDC - \angle CPD = 180^\circ - 2\beta$$.
Wprowadźmy dodatkowo oznacznia, że $\angle PBC = Y$ oraz $\angle PCB = X$. (patrz rys. \ref{r2})
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.6\textwidth]{img/21.1.5_1.jpg}
\caption{Wszystkie potrzebne oznaczenia na rysunku}
\label{r2}
\end{figure}
Zauważmy, że ze względu na to, że $\angle BPC = 90^\circ$ (dane w treści zadania), trójkąt $CPB$ jest prostokątny. A skoro suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ to stąd wynika, że:
\begin{align*}
90^\circ + X + Y &= 180^\circ \\
X + Y &= 90^\circ
\end{align*}
Z drugiej strony mamy, że kąty przy jednym ramieniu trapezu są równe $180^\circ$, czyli w naszym przypadku:
\begin{align*}
\angle DCB + \angle CBA &= 180^\circ \\
(180^\circ - 2\beta + X) + (Y + 180^\circ - 2\alpha) &= 180^\circ \\
360^\circ + (X + Y) - (2\alpha + 2\beta) &= 180^\circ \\
180^\circ + 90^\circ - (2\alpha + 2\beta) &= 0^\circ \\
(2\alpha + 2\beta) &= 270^\circ \\
\alpha + \beta &= 135^\circ
\end{align*}
Ale również mamy to, że kąty $DPC$, $CPB$, $BPA$, $APD$ tworzą kąt pełny przy wierzchołku $P$, czyli ich suma jest równa $360^\circ$.
\begin{align*}
\angle DPC + \angle CPB + \angle BPA + \angle APD &= 360^\circ \\
\beta + 90^\circ + \alpha + \gamma &= 360^\circ \\
(\beta + \alpha) + \gamma &= 270^\circ \\
135^\circ + \gamma &= 270^\circ \\
\gamma &= 135^\circ
\end{align*}
A przecież $\gamma$ to jest wartość której szukaliśmy.
\textbf{Odpowiedź:} $\angle APD = 135^\circ$.
\end{document}
