Problem done/OMJ/XXI/21.1.6.tex

% NumberTheory, Divisibility, Integers, Primes

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

% dowod, proof
\newtcolorbox{redbox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=red!5!white,
    colframe=red!50!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% lemat, lemma
\newtcolorbox{greenbox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=green!5!white,
    colframe=green!50!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% twierdzonko, theorem
\newtcolorbox{bluebox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=blue!5!white,
    colframe=blue!50!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% zasada, rule 
\newtcolorbox{yellowbox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=yellow!5!white,
    colframe=yellow!70!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% Fakcik, fact
\newtcolorbox{purplebox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=purple!5!white,
    colframe=purple!90!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% algorithm
\newtcolorbox{orangebox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=orange!5!white,
    colframe=orange!70!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{fakcik}{Fakcik}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXI OMJ, etap 1, zadanie 6}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Dana jest liczba całkowita $n$ o tej własności, że liczba $2n$ jest sześcianem liczby całkowitej,
a liczba $3n$ jest kwadratem liczby całkowitej. Udowodnij, że liczba $n$ jest podzielna przez 108.
\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Zanim przejdziemy do rozwiązania sformułujmy następujące fakciki:

\begin{purplebox}{Potęga liczby pierwszej w kwadracie liczby całkowitej}
\begin{fakcik}
    \label{fakcik1}
    Niech $x \in \mathbb{Z}$ będzie równe:
    $$ x = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_l^{\alpha_l}, \quad l\in\mathbb{Z} $$

    Wtedy $x^2$ jest równe:
    $$x^2 = p_1^{2\alpha_1} \cdot p_2^{2\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_l^{2\alpha_l}$$

    Jak widać wszystkie potęgi liczb pierwszych w kwadracie liczby całkowitej są podzielne przez 2.
\end{fakcik}
\end{purplebox}

\begin{purplebox}{Potęga liczby pierwszej w sześcianie liczby całkowitej}
\begin{fakcik}
    \label{fakcik2}
    Niech $x \in \mathbb{Z}$ będzie równe:
    $$ x = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_l^{\alpha_l}, \quad l\in\mathbb{Z} $$

    Wtedy $x^3$ jest równe:
    $$x^3 = p_1^{3\alpha_1} \cdot p_2^{3\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_l^{3\alpha_l}$$

    Jak widać wszystkie potęgi liczb pierwszych w sześcianie liczby całkowitej są podzielne przez 3.
\end{fakcik}
\end{purplebox}

Zapiszmy nasze warunki z zadania w postaci równości:

Warunek pierwszy:
\begin{equation}
    \label{r1}
    2n = k^3, \quad k\in\mathbb{Z}
\end{equation}

Warunek drugi:
\begin{equation}
    \label{r2}
    3n = z^2, \quad z\in\mathbb{Z}
\end{equation}

Zauważmy, że z drugiego warunku wynika, że $z$ musi być wielokrotnością 3. Dlaczego? 
Ponieważ, skoro $3n$ jest wielokrotnością 3, to po prawej stronie też musi być wielokrotność 2, czyli $z^2$ jest wielokrotnością 3.
Ale ze względu na to, że 3 jest liczbą pierwszą, to korzystając z fakciku \ref{fakcik1} $z^2$ musi mieć 3 w potędze podzielnej przez 2. Czyli $z$ musi być wielokrotnością 3.

Dlatego oznaczmy, że $z = 3w$ dla $w\in\mathbb{Z}$.

Podstawiając do równania \eqref{r2} otrzymujemy:
\begin{align*}
    3n &= z^2 \\
    3n &= (3w)^2 = 9w \\
    n &= 3w
\end{align*}

A z tego wynika, że $n$ jest wielokrotnością 3.

Robiąc analogicznie dla równania \eqref{r1}:

Zauważmy, że z pierwszego warunku wynika, że $k$ musi być wielokrotnością 2. Dlaczego? 
Ponieważ, skoro $2n$ jest wielokrotnością 2, to po prawej stronie też musi być wielokrotność 2, czyli $k^3$ jest wielokrotnością 2.
Ale ze względu na to, że 2 jest liczbą pierwszą, to korzystając z fakciku \ref{fakcik2} $k^3$ musi mieć 2 w potędze podzielnej przez 3. Czyli $k$ musi być wielokrotnością 2.

Dlatego oznaczmy, że $k = 2r$ dla $r\in\mathbb{Z}$.

Podstawiając do równania \eqref{r1} otrzymujemy:
\begin{align*}
    2n &= k^3 \\
    2n &= (2r)^3 = 8r \\
    n &= 4r
\end{align*}

A z tego wynika, że $n$ jest wielokrotnością 4.

Czyli wiemy, że $n$ jest wielokrotnością 3, ale zarazem 4. 
% Czyli możemy powiedzieć, że $n$
% jest wielokrotnością najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 3 i 4. Czyli $n$ jest wielokrotnością 12.
% Czyli możemy oznaczyć $n = 12u$ dla $u\in\mathbb{Z}$.

Zauważmy, że z równania \eqref{r1} wynika:
\begin{align*}
    2n &= k^3 \\
    2n &= (2r)^3 \\
    2n &= 8r^3 \\
    n &= 4r^3
\end{align*}

Oznaczmy uzyskaną równość:
\begin{equation}
    \label{r3}
    n = 4r^3
\end{equation}

Zauważmy, powyżej udało nam się dowieść, że $n$ jest wielokrotnością 3. Skoro tak, to w \eqref{r3} wyrażenie po lewej stronie jest 
wielokrotnością 3, a skoro tak, to po prawej stronie też musi być wielokrotnością 3.

Rozumując analogicznie (korzystając z fakciku \ref{fakcik2}) jak powyżej stąd wynika, że $r$ jest wielokrotnością 3. Czyli podstawmy: $r = 3h$ dla $h\in\mathbb{Z}$.

Podstawmy to do równania \eqref{r3}:
\begin{align*}
    n &= 4r^3 \\
    n &= 4(3h)^3\\
    n &= 4\cdot 27 h^3\\
    n &= 108 h^3
\end{align*}

Czyli stąd wynika, że $n$ jest wielokrotnością 108 (bo $h$ jest całkowite). Co należało dowieść.

\end{document}