Problem done/OMJ/XXI/21.1.7.tex

\fontsize{15}{15}\selectfont

Problem Statement

Miary kątów wewnętrznych trójkąta ostrokątnego są równe $a^\circ$, $b^\circ$, $c^\circ$. Wykaż, że istnieje trójkąt o bokach długości $a$, $b$, $c$.

Solution:

Skoro trójkąt jest ostrokątny to: \begin{equation} \label{eq1} 0 < a,b,c < 90^\circ \end{equation}

Ponadto suma kątów jest równa $180^\circ$: \begin{equation} \label{eq2} a + b + c = 180 \end{equation}

Załóżmy, bez straty ogólności, że: \begin{equation} a \leq b \leq c \end{equation}

Jaki jest warunek na istnienie trójkąta o bokach długości $a$, $b$, $c$?

Jest taki warunek: \begin{equation} \label{eq4} a + b > c \end{equation}

Z równania \eqref{eq2} możemy wyprowadzić $a + b$ w zależności od $c$: \begin{equation} \label{eq5} a + b = 180 - c \end{equation}

Podstawiając \eqref{eq5} do \eqref{eq4} otrzymujemy: \begin{align*} 180 - c &> c \\ 180 &> 2c \\ 90 &> c \end{align*}

Zauważmy, że warunek $90 > c$ jest spełniony z warunku \eqref{eq1}.

Czyli, skoro warunek \eqref{eq4} był warunkiem wystarczającym by udowodnić tezę, a udało się go udowodnić korzystając z warunku \eqref{eq1} (który był dany w treści zadania jako założenie), to udowodniona teza.

% Geometry, Algebra, Triangles, TriangleInequality

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXI OMJ, etap 1, zadanie 7}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Miary kątów wewnętrznych trójkąta ostrokątnego są równe $a^\circ$, $b^\circ$, $c^\circ$. Wykaż, że istnieje
trójkąt o bokach długości $a$, $b$, $c$.
\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Skoro trójkąt jest ostrokątny to: 
\begin{equation}
    \label{eq1}
    0 < a,b,c < 90^\circ
\end{equation}

Ponadto suma kątów jest równa $180^\circ$:
\begin{equation}
    \label{eq2}
    a + b + c = 180 
\end{equation}

Załóżmy, bez straty ogólności, że:
\begin{equation}
    a \leq b \leq c
\end{equation}

Jaki jest warunek na istnienie trójkąta o bokach długości $a$, $b$, $c$?

Jest taki warunek:
\begin{equation}
    \label{eq4}
    a + b > c 
\end{equation}

Z równania \eqref{eq2} możemy wyprowadzić $a + b$ w zależności od $c$:
\begin{equation}
    \label{eq5}
    a + b = 180 - c
\end{equation}

Podstawiając \eqref{eq5} do \eqref{eq4} otrzymujemy:
\begin{align*}
    180 - c &> c \\
    180 &> 2c \\
    90 &> c
\end{align*}

Zauważmy, że warunek $90 > c$ jest spełniony z warunku \eqref{eq1}.

Czyli, skoro warunek \eqref{eq4} był warunkiem wystarczającym by udowodnić tezę, a udało się go udowodnić korzystając z warunku \eqref{eq1} (który był dany w treści zadania jako założenie), to udowodniona teza.

\end{document}