Problem done/OMJ/XXI/21.2.1.tex

% Geometry, Parallelograms

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXI OMJ, etap 2, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{18}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Dany jest równoległobok $ABCD$. Na odcinku $CD$ leżą takie
punkty $X$ i $Y$ , że
$\angle XAB = \angle XAD$ oraz $\angle YBA = \angle YBC$.
Wykaż, że $CX = DY$ .

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.8\textwidth]{img/21.2.1_1.jpg}
    \caption{Konfiguracja początkowa}
    \label{r2}
\end{figure}

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku, to jest
\[
\angle XAB = \angle XAD = \alpha \, \quad \angle YBA = \angle YBC = \beta
\]

Zauważmy, że skoro $ABCD$ jest równoległobokiem, to $\angle ADX = \angle CBA$.
A wiemy, że $\angle CBA = 2\beta$.

Popatrzmy teraz na trójkąt $ADX$. Ma on dwa znane kąty:
\[
\angle ADX = 2\beta \quad \, \angle XAD = \alpha
\]

Trzeci kąt możemy policzyć. 
Bo, ze względu na to, że kąty w czworokącie sumują się do $360^\circ$ mamy:
\begin{align*}
4\alpha + 4\beta &= 360^\circ \\
\alpha + \beta &= 90^\circ \\
\alpha &= 90^\circ - \beta
\end{align*}

Czyli trójkąt $ADX$ ma takie kąty:
\[
\angle ADX = 2\beta \quad \, \angle XAD = 90^\circ - \beta \quad \, \angle DXA = x
\]

Kąty muszą się sumować do $180^\circ$ w trójkącie, więc:
\begin{align*}
    2\beta + 90^\circ - \beta + x &= 180^\circ \\
    \beta + x &= 90^\circ \\
    x &= 90^\circ - \beta 
\end{align*}

Zauważmy, że $x = \alpha$ ! Czyli trójkąt $ADX$ jest równoramienny!

\textbf{Uwaga: } Ze względu, że jest to równoległobok, to wiemy, że
$AB\parallel CD$, więc z kątów naprzemianległych od razu wychodzi, że $\angle BAX = \angle DXA$.

Co za tym idzie $|AD| = |XD|$.

Analogicznie spójrzmy na trójkąt $CBY$.
Robiąc bardzo podobne równości na kątach dostajemy, że:
\[
\angle BYC = \beta
\]

A stąd wynika, że $CBY$ jest równoramienny, więc:
\[
|BC| = |YC|
\]

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{img/21.2.1_2.jpg}
    \caption{Zaznaczone kąty $\angle BYC$ i $\angle DXA$}
    \label{r3}
\end{figure}

W równoległoboku jest $|AD| = |BC|$, więc stąd wynika, że:
\[
|DX|=|CY|
\]

Wiemy, że punkty $X$, $Y$ leżą na $CD$. Mamy więc:
\begin{align}
    |CX| &= |CD| - |DX| \\
    |DY| &= |CD| - |CY|
\end{align}

A skoro $|DX| = |CY|$ to mamy 
\[
|CX| = |DY|
\]

Otrzymujemy tezę! \qed

\end{document}