Problem done/OMJ/XXI/21.2.4.tex

Geometry
← Back
\fontsize{15}{18}\selectfont

Problem Statement

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ oraz $CD$. Punkty $P$ i $Q$ leżą odpowiednio na odcinkach $AB$ i $CD$, przy czym $AQ=BQ$ oraz $CP=DP$. Wykaż, że $AP +DQ=BP +CQ$.
Solution:
Figure 1: Konfiguracja początkowa
Wprowadźmy układ współrzędnych, gdzie: \[ A=(0,0) \quad B=(1,0) \]
oraz wysokość trapezu to $h$.
Figure 2: Układ współrzędnych
Rozpiszmy równość $AQ = BQ$: \begin{align*} AQ &= BQ \\ AQ^2 &= BQ^2 \\ Q_x^2 + Q_y^2 &= (Q_x - 1)^2 + Q_y^2 \\ Q_x^2 &= Q_x^2 - 2Q_x + 1 \\ 0 &= -2Q_x + 1 \\ 2Q_x &= 1 \\ Q_x &= \frac{1}{2} \end{align*}
Czyli znamy punkt $Q$! \[ Q=(\frac{1}{2},h) \]
Przy czym załóżmy b.s.o, że $AB \geq CD$.
Teraz rozpiszmy równość $CD=DP$ \begin{align*} CP &= DP \\ CP^2 &= DP^2 \\ (C_x-P_x)^2 + (C_y - P_y)^2 &= (D_x - P_x)^2 + (D_y - P_y)^2 \\ (C_x-P_x)^2 + h^2 &= (D_x - P_x)^2 + h^2 \\ (C_x-P_x)^2 &= (D_x - P_x)^2 \\ C_x^2 - 2C_xP_x + P_x^2 &= D_x^2 - 2D_xP_x + P_x^2 \\ C_x^2 - 2C_xP_x &= D_x^2 - 2D_xP_x \\ C_x^2 - D_x^2 &= 2C_xP_x - 2D_xP_x \\ (C_x + D_x)(C_x - D_x) &= 2P_x(C_x - D_x) \\ C_x + D_x &= 2P_x \\ C_x &= 2P_x - D_x \\ \end{align*}
Obliczmy $AP + DQ$: \begin{align*} AP + DQ &= P_x + Q_x - D_x \\ &= P_x + \frac{1}{2} - D_x \end{align*}
Obliczmy $BP+CQ$: \begin{align*} BP + CQ &= 1 - P_x + C_x - Q_x \\ &= 1 - P_x + C_x - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} - P_x + C_x \\ &= \frac{1}{2} - P_x + 2P_x - D_x \\ &= \frac{1}{2} + P_x - D_x \\ &= AP + DQ \end{align*}
Co należało dowieść. ■ 
% Geometry

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXI OMJ, etap 2, zadanie 4}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{18}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ oraz $CD$.
Punkty $P$ i $Q$ leżą odpowiednio na odcinkach $AB$ i $CD$, przy
czym $AQ=BQ$ oraz $CP=DP$. Wykaż, że $AP +DQ=BP +CQ$.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.8\textwidth]{img/21.2.4_1.jpg}
    \caption{Konfiguracja początkowa}
    \label{r1}
\end{figure}

Wprowadźmy układ współrzędnych, gdzie:
\[
A=(0,0) \quad B=(1,0)
\]

oraz wysokość trapezu to $h$.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{img/21.2.4_2.jpg}
    \caption{Układ współrzędnych}
    \label{r1}
\end{figure}

Rozpiszmy równość $AQ = BQ$:
\begin{align*}
    AQ &= BQ \\
    AQ^2 &= BQ^2 \\
    Q_x^2 + Q_y^2 &= (Q_x - 1)^2 + Q_y^2 \\
    Q_x^2 &= Q_x^2 - 2Q_x + 1 \\
    0 &= -2Q_x + 1 \\
    2Q_x &= 1 \\
    Q_x &= \frac{1}{2}
\end{align*}

Czyli znamy punkt $Q$!
\[
Q=(\frac{1}{2},h)
\]

Przy czym załóżmy b.s.o, że $AB \geq CD$.

Teraz rozpiszmy równość $CD=DP$
\begin{align*}
    CP &= DP \\
    CP^2 &= DP^2 \\
    (C_x-P_x)^2 + (C_y - P_y)^2 &= (D_x - P_x)^2 + (D_y - P_y)^2 \\
    (C_x-P_x)^2 + h^2 &= (D_x - P_x)^2 + h^2 \\
    (C_x-P_x)^2 &= (D_x - P_x)^2 \\
    C_x^2 - 2C_xP_x + P_x^2 &= D_x^2 - 2D_xP_x + P_x^2 \\
    C_x^2 - 2C_xP_x &= D_x^2 - 2D_xP_x \\
    C_x^2 - D_x^2 &= 2C_xP_x - 2D_xP_x \\
    (C_x + D_x)(C_x - D_x) &= 2P_x(C_x - D_x) \\
    C_x + D_x &= 2P_x \\
    C_x &= 2P_x - D_x \\
\end{align*}

Obliczmy $AP + DQ$:
\begin{align*}
    AP + DQ &= P_x + Q_x - D_x \\
    &= P_x + \frac{1}{2} - D_x
\end{align*}

Obliczmy $BP+CQ$:
\begin{align*}
    BP + CQ &= 1 - P_x + C_x - Q_x \\
    &= 1 - P_x + C_x - \frac{1}{2} \\
    &= \frac{1}{2} - P_x + C_x \\
    &= \frac{1}{2} - P_x + 2P_x - D_x \\
    &= \frac{1}{2} + P_x - D_x \\
    &= AP + DQ
\end{align*}

Co należało dowieść. \qed

\end{document}
Generated from: ./done/OMJ/XXI/21.2.4.tex