Problem done/OMJ/XXI/21.2.5.tex

% Inequality, AM_GM

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{unicode-math}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XXI OMJ, etap 2, zadanie 6}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{18}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Dane są dodatnie liczby rzeczywiste $a$, $b$, $c$ o tej własności,
że każda z liczb $ab$, $bc$, $ca$ jest większa od $a+b+c$. Wykaż, że
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 1
\]

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Przypomnijmy na początku zależność między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\begin{theorem}[AM-GM]
\label{t1}
Dla dowolnych dodatnich $x_1, x_2, \ldots, x_k$ jest spełniona nierówność
\[
\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_k}{k} \geq \sqrt[k]{x_1x_2\cdot\ldots\cdot x_k}
\] 
\end{theorem}

Wprowadźmy oznaczenia:
\[
x = \frac{1}{a} \quad y = \frac{1}{b} \quad z = \frac{1}{c}
\]

\begin{align*}
    ab &> a + b + c \\
    1 &> \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{c}{ab} \\
    1 &> x + y + \frac{xy}{z} \\
    1 - (x + y) &> \frac{xy}{z}
\end{align*}

Robiąc analogicznie dla $bc$ i $ac$ otrzymujemy takie trzy nierówności:
\begin{align}
    1 - (x + y) &> \frac{xy}{z} \\
    1 - (x + z) &> \frac{xz}{y} \\
    1 - (z + y) &> \frac{yz}{x}
\end{align}

Dodajmy je do siebie stronami:
\begin{equation}
    \label{e1}
    3 - 2(x+y+z) > \frac{xy}{z} + \frac{xz}{y} + \frac{yz}{x}
\end{equation}

Oznaczmy:
\[
S = \frac{xy}{z} + \frac{xz}{y} + \frac{yz}{x}
\]

Spójrzmy na dwa składniki prawej strony: $\frac{xy}{z}$, $\frac{xz}{y}$.
Skorzystajmy dla nich z tw. \ref{t1} (AM-GM):
\begin{align*}
    \frac{xy}{z} + \frac{xz}{y} &\geq 2\sqrt{\frac{x^2yz}{yz}} \\
    \frac{xy}{z} + \frac{xz}{y} &\geq 2x
\end{align*}

Zróbmy analogicznie dla pary $\frac{xy}{z}$, $\frac{yz}{x}$ oraz dla pary $\frac{yz}{x}$, $\frac{xz}{y}$.
Czyli otrzymamy trzy nierówności:
\begin{align}
    \frac{xy}{z} + \frac{xz}{y} &\geq 2x \\
    \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} &\geq 2y \\
    \frac{xz}{y} + \frac{yz}{x} &\geq 2z
\end{align} 

Zsumujmy te trzy nierówności:
\[
2S \geq 2(x+y+z)
\]

Czyli możemy zapisać:
\begin{equation}
    S \geq x+y+z
\end{equation}

Zapiszmy też \eqref{e1} używając oznaczenia z $S$:
\begin{equation}
    3 - 2(x+y+z) > S
\end{equation}

Czyli mamy coś takiego:
\begin{equation}
    \label{e2}
    x + y + z \leq S < 3 - 2(x + y + z) 
\end{equation}

Zauważmy, że możemy w takim porównać:
\begin{align*}
    x + y + z &< 3 - 2(x + y + z) \\
    3(x + y + z) &< 3 \\
    x + y + z &< 1 \\
    \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} &< 1
\end{align*}

Czyli otrzymaliśmy tezę. Co należało dowieść \qed

\end{document}