Punkt $E$ leży na boku $CD$ prostokąta $ABCD$, przy czym
$$\angle DAE + \angle EBC = \angle ABE.$$
Wykaż, że $AB\geq AD$.
Solution:Oznaczmy $\angle DAE = \alpha$, $\angle EBC = \beta$. Wtedy $\angle ABE = \alpha + \beta$.Kąt $AED$ jest równy $90^\circ - \alpha$, bo suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ (trójkąt $AED$).Podobnie, kąt $CEB$ jest równy $90^\circ - \beta$, bo suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ (trójkąt $CEB$).Ale kąt $BEA$, ponieważ kąty $CEB$, $AED$, $BEA$ są przyległe, jest równy
$$180^\circ - (90^\circ - \beta) - (90^\circ - \alpha) = \alpha + \beta.$$
Figure 1: Prostokąt $ABCD$Widzimy, że skoro dwa kąty w trójkącie $ABE$ są równe to jest on równoramienny, przy czym $|AE|=|AB|$.Ale mamy taką własność, że naprzeciwko największego kąta jest największy bok, więc aplikując to dla trójkąta $AED$ otrzymujemy:
$$|AD| < |AE| = |AB|$$Co należało dowieść.(P.S. Równość $|AD|=|AB|$ otrzymamy tylko wtedy, gdy $E=D$).
% Geometry, Triangles, Parallelograms, Rectangle
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
headheight=50pt, a4paper]{geometry}
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XX OMJ, etap 2, zadanie 1}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont
\section*{Problem Statement}
Punkt $E$ leży na boku $CD$ prostokąta $ABCD$, przy czym
$$\angle DAE + \angle EBC = \angle ABE.$$
Wykaż, że $AB\geq AD$.
\bigskip
\noindent\textbf{Solution:}
Oznaczmy $\angle DAE = \alpha$, $\angle EBC = \beta$. Wtedy $\angle ABE = \alpha + \beta$.
Kąt $AED$ jest równy $90^\circ - \alpha$, bo suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ (trójkąt $AED$).
Podobnie, kąt $CEB$ jest równy $90^\circ - \beta$, bo suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ (trójkąt $CEB$).
Ale kąt $BEA$, ponieważ kąty $CEB$, $AED$, $BEA$ są przyległe, jest równy
$$180^\circ - (90^\circ - \beta) - (90^\circ - \alpha) = \alpha + \beta.$$
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.7\textwidth]{img/20.2.1_i1.jpg}
\caption{Prostokąt $ABCD$}
\label{fig:rys1}
\end{figure}
Widzimy, że skoro dwa kąty w trójkącie $ABE$ są równe to jest on równoramienny, przy czym $|AE|=|AB|$.
Ale mamy taką własność, że naprzeciwko największego kąta jest największy bok, więc aplikując to dla trójkąta $AED$ otrzymujemy:
$$|AD| < |AE| = |AB|$$
Co należało dowieść.
(P.S. Równość $|AD|=|AB|$ otrzymamy tylko wtedy, gdy $E=D$).
\end{document}
