Problem done/OMJ/XX/20.3.1.tex

% Geometry, Tetrahedron, Integers, Triangles, 3D

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
\newtheorem{zasada}{Zasada}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

% dowod, proof
\newtcolorbox{redbox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=red!5!white,
    colframe=red!50!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% lemat, lemma
\newtcolorbox{greenbox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=green!5!white,
    colframe=green!50!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% twierdzonko, theorem
\newtcolorbox{bluebox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=blue!5!white,
    colframe=blue!50!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% zasada, rule 
\newtcolorbox{yellowbox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=yellow!5!white,
    colframe=yellow!70!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% Fakcik, fact
\newtcolorbox{purplebox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=purple!5!white,
    colframe=purple!90!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

% algorithm
\newtcolorbox{orangebox}[1]{
    breakable,
    enhanced jigsaw,
    colback=orange!5!white,
    colframe=orange!70!black,
    title=#1,
    fonttitle=\bfseries,
    before upper={\parindent15pt},
    boxrule=0.5pt,
    left=2mm,
    right=2mm,
    top=2mm,
    bottom=2mm,
    before skip=10pt plus 1pt,
    after skip=10pt plus 1pt
}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{XX OMJ, etap 3, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Czy istnieje czworościan, w którym długości krawędzi są sześcioma różnymi liczbami całkowitymi, a ich suma jest równa 25?

Odpowiedź uzasadnij.
\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.17\textwidth]{img/20.3.1_i1.jpg}
    \caption{Czworościan}
    \label{fig:rys0}
\end{figure}

Zauważmy, że każda ściana czworościanu jest trójkątem różnobocznym (bo w założeniu zadania mamy różne liczby całkowite).

Warunek istnienia trójkąta:

\begin{bluebox}{Warunek trójkąta}
\begin{theorem}
    \label{theorem-warunek-trojkata}
    Jeśli jest trójkąt o bokach $a$, $b$, $c$, przy czym $a \leq b \leq c$ to musi być:
$$a+b>c$$
\end{theorem}
\end{bluebox}

A w takim wypadku, jeśli za najmniejszy bok weźmiemy 1, to otrzymamy coś takiego (przy czym zakładamy, że $a<b<c$ bo w naszym zadaniu są trójkąty różnoboczne):
$$
\begin{cases}
    1 < b < c \\
    1 + b > c
\end{cases}
$$

Czyli: $b<c \wedge 1 + b > c$. Czyli $c$ jest większa niż $b$, ale mniejsza niż $b+1$. Jeśli $b$ i $c$ byłyby całkowite to z zasady skwantowania (patrz zasada \ref{zasada-skwantowania}) otrzymamy $b+1\leq c$, ale to jest sprzeczne z $1+b>c$. Wniosek: 

\begin{greenbox}{Lemat}
\begin{lemma}
    \label{lemma-bok1}
    Nie istnieje trójkąt różnoboczny o bokach długości całkowitych, który ma bok długości 1.
\end{lemma}
\end{greenbox}

A co za tym idzie, skoro każda ściana w naszym czworościanie jest trójkątem różnobocznym, to również żadna krawędź nie może być równa 1.

Ale wtedy minimalne krawędzie jakie możemy wziąć to:
$$ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27 > 25.$$

Jak widać jest to większe niż 25.

\textbf{Odpowiedź}: Nie istnieje taki czworościan spełniający warunki zadania.

\begin{yellowbox}{Zasada Skwantowania}
\begin{zasada}
    \label{zasada-skwantowania}
    Jeżeli liczby całkowite $a$,$b$ spełniają warunek $a>b$, to $a\geq b+1$.

    W szczególności, jeśli $c>0$ to $c\geq1$.
\end{zasada}
\end{yellowbox}

\end{document}