Problem done/OMJ/demo/omj.demo.2.tex

% Geometry, Rectangles

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{demo OMJ, etap 1, zadanie 2}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{14}{14}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Prostokąt o obwodzie 300 został podzielony na 9 kwadratów o boku długości $a$. Wyznacz
wszystkie możliwe wartości liczby $a$.
\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Zauważmy, że jeżeli dzielimy prostokąt na 9 jednakowych kwadratów, to tak iście możemy powiedzieć, że robimy "kratownicę". To znaczy, że z góry możemy po prostu wyznaczyć liczbę wierszy i kolumn, żeby podzielić prostokąt na kwadraty. Przy czym w każdym wierszu jest jednakowa liczba kolumn i vice versa.

Zauważmy, że w takiej konstrukcji, jeśli przez $w$ oznaczymy liczbę wierszy, a przez $k$ liczbę kolumn, to liczba powstałych kwadratów jest równa $w\cdot k$.

A musimy zapewnić, że $w$ i $k$ są całkowite, dlatego jeśli chcemy mieć jakieś $x$ kwadratów, to musimy rozważyć wszystkie pary dodatnich dzielników liczby $x$, których iloczyn jest równy $x$.

A skoro my mamy mieć 9 kwadratów to wystarczy rozważyć dwa przypadki:
% \begin{itemize}
%     \item $w = 1$, $k = 9$
%     \item $w = 3$, $k = 3$
% \end{itemize}

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
    \raggedright
    \subsection*{Przypadek 1: $w=1$, $k=9$}
    \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
        \foreach \i in {0,...,8} {
            \draw (\i,0) rectangle ++(1,1);
        }

        \draw[<->] (0,-0.3) -- (9,-0.3) node[midway,below] {$9a$};
        \draw[<->] (-0.3,0) -- (-0.3,1) node[midway,left] {$a$};
    \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
    \raggedright
    \subsection*{Przypadek 2: $w=3$, $k=3$}
    \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
        \foreach \i in {0,1,2} {
            \foreach \j in {0,1,2} {
                \draw (\i,\j) rectangle ++(1,1);
            }
        }

        \draw[<->] (0,-0.3) -- (3,-0.3) node[midway,below] {$3a$};
        \draw[<->] (-0.3,0) -- (-0.3,3) node[midway,left] {$3a$};
    \end{tikzpicture}
    \end{center}
\end{minipage}

Zauważmy, że ze względu na symetryczność konstrukcji możemy założyć bez straty ogólności (b.s.o.), że $k\geq w$. (Gdyby było inaczej to wystarczy obrócić nasz prostokąt o $90^\circ$)

Zauważmy, że "górna" krawędź prostokąta jest równa $ka$ a "lewa" jest równa $wa$.

A zatem, w pierwszym przypadku ($w = 1$, $k = 9$) mamy tak, że górna krawędź prostokąta jest równa $9a$ a lewa $a$.

Liczymy obwód: (a w treści zadania mamy podany obwód równy 300)
\begin{align*}
\text{Obwód} = a + 9a + a + 9a &= 300 \\ 
20a &= 300 \\ 
a &= 15  
\end{align*}

Czyli w tym przypadku otrzymujemy $a=15$.

Drugi przypadek ($w = 3$, $k = 3$) – górna krawędź jest równa $3a$ a lewa $3a$.

Liczymy obwód: (a w treści zadania mamy podany obwód równy 300)
\begin{align*}
\text{Obwód} = 3a + 3a + 3a + 3a &= 300 \\ 
12a &= 300 \\ 
a &= 25  
\end{align*}

Czyli w tym przypadku otrzymujemy $a=25$.

Łącząc dwa przypadki otrzymujemy, że $a = 15$ albo $a=25$.

\textbf{Odpowiedź:} $a\in\left\{15,25\right\}$.

\end{document}