Uzasadnij, że pole trójkąta równoramiennego o bokach długości 5, 5, 6 jest równe polu
trójkąta równoramiennego o bokach długości 5, 5, 8.
Solution:
Figure 1: Dwa trójkąty z zadaniaZauważmy, że w trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę przecina ją w połowie.Wiemy również, że pole trójkąta to podstawa pomnożona przez wysokość podzielona przez 2.Popatrzmy na ten lewy trójkąt (o bokach długości 5,5,6). Możemy obliczyć wysokość z twierdzenia Pitagorasa: (oznaczmy tę wysokość jako $h_1$)
\begin{align*}
h_1^2+3^2&=5^2\\
h_1^2+9&=25\\
h_1^2&=16\\
h_1&=4
\end{align*}Czyli wysokość lewego trójkąta jest równa $h_1 = 4$. Czyli jego pole jest równe: $\frac{6 \cdot h_1}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12$.Podobnie zróbmy dla prawego trójkąta (o bokach długości 5,5,8). Wysokość w tym trójkącie również możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa: (oznaczmy tę wysokość jako $h_2$)
\begin{align*}
h_2^2+4^2&=5^2\\
h_2^2+16&=25\\
h_2^2&=9\\
h_2&=3
\end{align*}Czyli wysokość prawego trójkąta jest równa $h_2 = 3$. Czyli jego pole jest równe: $\frac{8 \cdot h_2}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$.Co kończy dowód.
% Geometry, Triangles
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
headheight=50pt, a4paper]{geometry}
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{demo OMJ, etap 1, zadanie 3}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont
\section*{Problem Statement}
Uzasadnij, że pole trójkąta równoramiennego o bokach długości 5, 5, 6 jest równe polu
trójkąta równoramiennego o bokach długości 5, 5, 8.
\bigskip
\noindent\textbf{Solution:}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{img/omj.demo.3_i1.jpg}
\caption{Dwa trójkąty z zadania}
\end{figure}
Zauważmy, że w trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę przecina ją w połowie.
Wiemy również, że pole trójkąta to podstawa pomnożona przez wysokość podzielona przez 2.
Popatrzmy na ten lewy trójkąt (o bokach długości 5,5,6). Możemy obliczyć wysokość z twierdzenia Pitagorasa: (oznaczmy tę wysokość jako $h_1$)
\begin{align*}
h_1^2+3^2&=5^2\\
h_1^2+9&=25\\
h_1^2&=16\\
h_1&=4
\end{align*}
Czyli wysokość lewego trójkąta jest równa $h_1 = 4$. Czyli jego pole jest równe: $\frac{6 \cdot h_1}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12$.
Podobnie zróbmy dla prawego trójkąta (o bokach długości 5,5,8). Wysokość w tym trójkącie również możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa: (oznaczmy tę wysokość jako $h_2$)
\begin{align*}
h_2^2+4^2&=5^2\\
h_2^2+16&=25\\
h_2^2&=9\\
h_2&=3
\end{align*}
Czyli wysokość prawego trójkąta jest równa $h_2 = 3$. Czyli jego pole jest równe: $\frac{8 \cdot h_2}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$.
Co kończy dowód.
\end{document}
