Problem done/OMJ/demo/omj.demo.5.tex

% Geometry, Pentagon, Parallelogram

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{demo OMJ, etap 1, zadanie 5}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
W pięciokącie wypukłym $ABCDE$ boki $AB$ i $CD$ są równoległe oraz boki $BC$ i $DE$ są
równoległe. Zachodzi także równość $\angle BAE = \angle AED$. Wykaż, że $AB +BC = CD +DE$.
\textit{Uwaga}. Pięciokąt nazywamy \textit{wypukłym}, jeśli wszystkie jego kąty wewnętrzne mają miary mniejsze niż $180^\circ$
.
\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{img/omj.demo.5_i1.jpg}
    \caption{Konfiguracja początkowa}
\end{figure}

Zauważmy, że aby nasz pięciokąt był wypukły musi być $CD > AB$ oraz $DE < BC$.

Na początku wprowadźmy dodatkowe punkty.

Wprowadźmy punkt $F$, który z definicji niech leży na przecięciu przedłużenia boku $BA$ i przedłużenia boku $DE$, tak, że czworokąt $BCDF$ jest równoległobokiem. (takie coś istnieje z warunków zadania $AB\parallel CD$ i $DE\parallel BC$)

Wprowadźmy punkt $G$, który z definicji niech leży na boku $CD$ tak, że czworokąt $AGCB$ jest równoległobokiem. (takie coś istnieje z warunków zadania $AB\parallel CD$ i $DE\parallel BC$)

Oznaczmy teraz długości boków:

Niech $a = |AB|$, $b=|BC|$, $x = |AF|$, $y=|FE|$. Zauważmy, że ze względu na powyżej zdefiniowane równoległoboki jest spełnione, że $|DE| = b-y$, $|CD|=a+x$.

Niech $\alpha = \angle BAE = \angle AED$ oraz dodatkowo zdefiniujmy, że $\angle BAG = \beta$. (patrz rys. \ref{r2})

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.4\textwidth]{img/omj.demo.5_i3.jpg}
    \caption{Wprowadzone oznaczenia}
    \label{r2}
\end{figure}

Ale jak przy takich oznaczeniach wygląda teza?
\begin{align*}
    AB +BC &= CD +DE \\
    a + b &= a + x + b - y \\
    0 &= x - y \\
    y &= x 
\end{align*}

Czyli teza jest równoważna temu, że $x=y$; spróbujmy to dowieść.

Wiemy, że $\angle GAE = \alpha - \beta$ (bo $\angle BAE = \alpha$).

Wiemy, że $\angle BCD = \beta$ ponieważ $AGCB$ jest równoległobokiem z definicji, a w równoległoboku mamy tak, że kąty naprzeciwko siebie są sobie równe.

Ale z tego samego faktu wynika, że $\angle AFE = \beta$, bo tym razem mamy, że $FDCB$ jest równoległobokiem.

Ze względu na kąty przyległe mamy, że $\angle AEF = 180^\circ - \alpha$.

Ale teraz używając fakciku, że suma kątów w trójkącie jest równa $180^\circ$ spróbujmy obliczyć kąt $FAE$ patrząc na trójkąt $FAE$.

Jest on równy:
$$\angle FAE = 180^\circ - \beta - (180^\circ - \alpha) = \alpha - \beta$$

Ale z drugiej strony patrząc ten kąt i kąt $BAE$ to kąty przyległe więc ich suma jest równa $180^\circ$:
$$\alpha + \alpha - \beta = 180^\circ$$

Ale możemy to przekształcić do następującej postaci:
\begin{align*}
    \alpha -\beta &= 180^\circ - \alpha\\
    \angle FAE &= \angle AEF
\end{align*}

Czyli trójkąt $FAE$ jest równoramienny, przy czym $|AF|=|FE|$.

A przecież to, przy naszych oznaczeniach, to po prostu $x=y$.

Co należało dowieść.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{img/omj.demo.5_i2.jpg}
    \caption{Końcowy rysunek}
\end{figure}

\end{document}