Problem done/OMJ/demo/omj.demo.7.tex

% Algebra, Inequalities

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{demo OMJ, etap 1, zadanie 7}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Liczby rzeczywiste $x$, $y$ są dodatnie i mniejsze od 2. Uzasadnij, że $x+y > x\cdot y$.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\textbf{Sposób 1:}

Zauważmy, że skoro $0 < x,y < 2$, to: $0 < xy < 4$.

Korzystając z zależności między średnią arytmetyczną a średnią geometryczną wiemy, że:
$$ \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} $$

Zastosujmy dowód nie wprost. Załóżmy, że $x+y \leq xy$.

Wtedy możemy coś takiego zapisać:
$$ \frac{xy}{2} \geq \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} $$

Ale stąd wynika, że
\begin{align*}
\frac{xy}{2} &\geq \sqrt{xy} \\
\frac{x^2y^2}{4} &\geq xy \\
x^2y^2 &\geq 4xy \\
xy &\geq 4 \quad \text{(możemy podzielić, bo $xy>0$)} 
\end{align*}

Ale to sprzeczność, bo z założeń zadania wynika, że $xy < 4$.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że $x+y > xy$. Co należało dowieść.

\textbf{Sposób 2:}

Zauważmy, że skoro $x,y>0$ to możemy przekształcić tezę równoważnie dzieląc przez $xy$:
\begin{align*}
\frac{x+y}{xy} &> \frac{xy}{xy} \\
\frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} &> 1 \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} &> 1 
\end{align*}

Skoro $x<2$, to mamy, że $\frac{1}{x} > \frac{1}{2}$. Analogicznie $\frac{1}{y} > \frac{1}{2}$. 

Dodając te nierówności stronami otrzymujemy:
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 1$$

Czyli tezę.

\textbf{Sposób 3:}

Skoro $x<2$ i $y>0$ to możemy pomnożyć otrzymując:
$$xy < 2y \quad \text{($x<2$ ; mnożymy obustronnie przez $y$)}$$

Analogicznie skoro $y<2$ i $x>0$ otrzymujemy:
$$xy<2x$$

Dodajmy te nierówności stronami:
\begin{align*}
2xy &< 2x + 2y \\ 
2xy &< 2(x + y) \\ 
xy &< x + y  
\end{align*}

Czyli otrzymujemy tezę.

\textbf{Sposób 4:}

Załóżmy bez straty ogólności, że $x\leq y$. Wówczas:
$$ x + y \geq x + x = 2x$$

Ale skoro $y<2$ to:
$$y\cdot x < 2\cdot x \Leftrightarrow 2x > xy$$

Łącząc obie nierówności otrzymujemy:
$$x + y \geq 2x > xy \Rightarrow x + y > xy$$

Co należało dowieść.

\textbf{Sposób 5:}

Skoro mamy, że $0 < x < 2$ to odejmując 1 z każdej strony dostajemy: $-1 < x - 1 < 1$. Czyli innymi słowy 
$$|x-1| < 1$$

Analogicznie robiąc dla $y$ dostajemy, że 
$$|y-1|<1$$

Mnożąc te nierówności stronami otrzymujemy:
$$|(x-1)(y-1)|<1$$

W szczególności z tego wynika, że
\begin{align*}
    (x-1)(y-1)&<1\\
    xy-x-y+1&<1\\
    xy-x-y&<0\\
    xy&<x+y\\
    x+y&>xy
\end{align*}

Co należało dowieść.

\textbf{Sposób 6:}

Teza jest równoważna: $x+y-xy > 0$

Przekształćmy wyrażenie po lewej stronie do postaci równoważnej:
$$ x+y-xy = 1 - (1-x)(1-y) = x + y(1-x) $$

Rozważmy dwa przypadki: $x\leq1$ oraz $x>1$. 

Gdy $x\leq1$ to $1-x\geq0$, a dodatkowo mamy, że $y>0$, więc mnożąc otrzymujemy:
$$y(1-x)\geq0$$

Wówczas:
$$x + y(1-x) \geq x > 0$$

Czyli w tym przypadku jest spełniona teza. Teraz przejdźmy do $x>1$.

W tym przypadku, skoro $x>1$, to mamy, że $1-x<0$. A dodatkowo $y<2$, czyli mnożąc nierówność $y<2$ przez $1-x$ zmienia się znak nierówności (bo $1-x$ jest ujemne); czyli dostajemy:
$$y(1-x)>2(1-x)$$

Wówczas: 
$$ x + y(1-x) > x + 2(1-x) = x + 2 - 2x = 2 - x$$

Ale skoro $x<2$ to $2-x > 0$. Czyli w tym przypadku też jest dobrze.

Skoro w obu przypadkach jest spełniona teza to udowodniliśmy to co chcieliśmy.

\end{document}