Problem other/agh/2025/1.3.tex

\section*{Zadanie 3.}

\subsection*{Treść zadania}
Rozwiąż równanie
$$
|\log x^2 - 2|^{\log^2 x^2 - \log x^2 - 2} = 1
$$

(\emph{$\log$ oznacza logarytm o podstawie 2})

\subsection*{Rozwiązanie}

Niech $u = \log x$. Wówczas
$$
\log x^2 = 2\log x = 2u.
$$

\textbf{Ważna uwaga:} \emph{Podstawienie $u = \log x$ zawęża dziedzinę do $x > 0$, podczas gdy dziedzina $\log x^2$ to $x\neq 0$. 
Jednak w naszym przypadku to nie jest problem, ponieważ funkcja $f(x) = |\log x^2 - 2|^{\log^2 x^2 - \log x^2 - 2}$ jest parzysta.}

\begin{proof}
    Żeby udowodnić, że funkcja $f(x)$ jest parzysta, wystarczy udowodnić równość: $f(x) = f(-x)$.
    
    \begin{align*}
        f(-x) &= |\log (-x)^2 - 2|^{\log^2 (-x)^2 - \log (-x)^2 - 2} \\
              &= |\log x^2 - 2|^{\log^2 x^2 - \log x^2 - 2} \\
              &= f(x)
    \end{align*}
\end{proof}

\emph{Zatem, skoro funkcja $f(x)$ jest parzysta to znając wszystkie rozwiązania dodatnie ($x>0$) znamy wszystkie rozwiązania.}

Podstawiając $u$ do równania, otrzymujemy
$$
|2u - 2|^{(2u)^2 - 2u - 2} = 1,
$$
czyli
$$
|2(u - 1)|^{4u^2 - 2u - 2} = 1.
$$

Zauważmy, że wyrażenie postaci $|A|^B = 1$ może być spełnione w dwóch przypadkach:
\begin{enumerate}
    \item $|A| = 1$,
    \item $B = 0$ oraz $A \neq 0$,
\end{enumerate}

\noindent Rozpatrzmy te przypadki osobno.

\subsubsection*{Przypadek 1: $|A| = 1$}
$$
|2(u - 1)| = 1 \quad \Rightarrow \quad |u - 1| = \tfrac{1}{2}.
$$
Stąd:
$$
u - 1 = \tfrac{1}{2} \quad \text{lub} \quad u - 1 = -\tfrac{1}{2},
$$
czyli
$$
u = \tfrac{3}{2} \quad \text{lub} \quad u = \tfrac{1}{2}.
$$

\subsubsection*{Przypadek 2: $B = 0$ oraz $A \neq 0$}
$$
4u^2 - 2u - 2 = 0.
$$
Dzieląc przez 2:
$$
2u^2 - u - 1 = 0.
$$
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
$$
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9,
$$
$$
u = \frac{1 \pm 3}{4} \Rightarrow u = 1 \ \text{lub} \ u = -\tfrac{1}{2}.
$$

Ale jeszcze trzeba uwzględnić to, że $A \neq 0$:
$$
2(u - 1) \neq 0 \Rightarrow u \neq 1
$$

Więc w tym przypadku mamy jedynie
$$
u = -\tfrac{1}{2}.
$$

\subsection*{Zbiór rozwiązań dla $u$}
$$
u \in \left\{ -\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2} \right\}.
$$

\subsection*{Przejście do $x$}
Ponieważ $u = \log x$, otrzymujemy:
$$
x = 2^u,
$$
czyli
$$
x \in \left\{ 2^{-1/2}, 2^{1/2}, 2^{3/2} \right\} = \left\{ \tfrac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}, 2\sqrt{2} \right\}.
$$

Przy czym, pamiętając o tym, że funkcja $f(x)$ jest parzysta uwzględniamy również ujemne rozwiązania:
$$
x \in \left\{ \pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}, \pm\sqrt{2}, \pm2\sqrt{2} \right\}.
$$

\subsection*{Odpowiedź}
$$
\boxed{x \in \left\{ -2\sqrt{2}, -\sqrt{2}, -\tfrac{1}{\sqrt{2}}, \tfrac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}, 2\sqrt{2} \right\}}
$$