Problem other/agh/2025/1.4.tex

Zadanie 4

Treść zadania

Funkcja $g$ dana jest wzorem $$ g(x) = 1 + x^3 + \frac{x^5}{2} + \frac{x^7}{4} + \frac{x^9}{8} + \ldots $$ Wyznacz jej zbiór wartości (odpowiedź wyczerpująco uzasadnij).

Rozwiązanie

Zaczynamy od sumy geometrycznej. Mając \[ g(x) = 1 + x^3 + \frac{x^5}{2} + \frac{x^7}{4} + \cdots \] możemy przepisać sumę szeregu jako \[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^{2i+1}}{2^{i-1}} = x^3 \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{x^2}{2} \right)^k. \] Szereg geometryczny $ \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{x^2}{2} \right)^k $ zbiega dokładnie wtedy, gdy $|x^2/2| < 1$, czyli $|x| < \sqrt{2}$, i jego suma równa jest $\dfrac{1}{1 - x^2/2}$. Stąd dla $|x| < \sqrt{2}$ \[ g(x) = 1 + \frac{x^3}{1 - \frac{x^2}{2}}. \] Uprośćmy wyrażenie: \[ 1 - \frac{x^2}{2} = \frac{2 - x^2}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{x^3}{1 - \frac{x^2}{2}} = \frac{2x^3}{2 - x^2}, \] więc \[ \boxed{g(x) = 1 + \frac{2x^3}{2 - x^2}, \qquad x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}).} \]

Teraz zbiór wartości. Funkcja $ g $ jest ciągła na przedziale otwartym $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Obliczmy pochodną, aby ustalić monotoniczność: \[ g'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{2x^3}{2 - x^2} \right) = \frac{2x^2(6 - x^2)}{(2 - x^2)^2}. \] Dla $ x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $ mianownik jest dodatni, licznik $2x^2(6 - x^2) \ge 0$ i jest równy zeru tylko przy $x = 0$. Zatem $ g'(x) \ge 0 $ na całym przedziale i $ g'(x) > 0 $ dla $ x \ne 0 $. Oznacza to, że $ g $ jest ściśle rosnąca na $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Pozostały granice przy końcach przedziału: \[ \lim_{x \to \sqrt{2}^{-}} g(x) = \lim_{x \to \sqrt{2}^{-}} \left( 1 + \frac{2x^3}{2 - x^2} \right) = +\infty, \] bo dla $ x \to \sqrt{2}^{-} $ mianownik $ \to 0^+ $, a licznik $ 2x^3 \to 2(\sqrt{2})^3 > 0 $; \[ \lim_{x \to (-\sqrt{2})^{+}} g(x) = 1 + \lim_{x \to (-\sqrt{2})^{+}} \frac{2x^3}{2 - x^2} = -\infty, \] bo teraz licznik $ 2x^3 \to 2(-\sqrt{2})^3 < 0 $ przy dodatnim zbliżającym się do $0$ mianowniku.

Funkcja ciągła i rosnąca na $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ oraz mająca granice $-\infty$ i $+\infty$ przy końcach przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste. Stąd zbiór wartości to cały $\mathbb{R}$.

Odpowiedź

\[ \boxed{\mathrm{Dziedzina}(g) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2}), \qquad \mathrm{Zbiór Wartości}(g) = \mathbb{R}.} \]

\section*{Zadanie 4}

\subsection*{Treść zadania}

Funkcja $g$ dana jest wzorem
$$
g(x) = 1 + x^3 + \frac{x^5}{2} + \frac{x^7}{4} + \frac{x^9}{8} + \ldots
$$
Wyznacz jej zbiór wartości (odpowiedź wyczerpująco uzasadnij).

\subsection*{Rozwiązanie}

Zaczynamy od sumy geometrycznej. Mając
\[
g(x) = 1 + x^3 + \frac{x^5}{2} + \frac{x^7}{4} + \cdots
\]
możemy przepisać sumę szeregu jako
\[
\sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^{2i+1}}{2^{i-1}} = x^3 \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{x^2}{2} \right)^k.
\]
Szereg geometryczny 
\(
\sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{x^2}{2} \right)^k
\)
zbiega dokładnie wtedy, gdy 
\(|x^2/2| < 1\), czyli \(|x| < \sqrt{2}\),
i jego suma równa jest 
\(\dfrac{1}{1 - x^2/2}\).
Stąd dla \(|x| < \sqrt{2}\)
\[
g(x) = 1 + \frac{x^3}{1 - \frac{x^2}{2}}.
\]
Uprośćmy wyrażenie:
\[
1 - \frac{x^2}{2} = \frac{2 - x^2}{2}
\quad \Rightarrow \quad
\frac{x^3}{1 - \frac{x^2}{2}} = \frac{2x^3}{2 - x^2},
\]
więc
\[
\boxed{g(x) = 1 + \frac{2x^3}{2 - x^2}, \qquad x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}).}
\]

\bigskip
Teraz zbiór wartości. Funkcja \( g \) jest ciągła na przedziale otwartym \((-\sqrt{2}, \sqrt{2})\).
Obliczmy pochodną, aby ustalić monotoniczność:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{2x^3}{2 - x^2} \right)
= \frac{2x^2(6 - x^2)}{(2 - x^2)^2}.
\]
Dla \( x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \) mianownik jest dodatni, licznik 
\(2x^2(6 - x^2) \ge 0\)
i jest równy zeru tylko przy \(x = 0\).
Zatem \( g'(x) \ge 0 \) na całym przedziale i \( g'(x) > 0 \) dla \( x \ne 0 \).
Oznacza to, że \( g \) jest ściśle rosnąca na \((-\sqrt{2}, \sqrt{2})\).

\bigskip
Pozostały granice przy końcach przedziału:
\[
\lim_{x \to \sqrt{2}^{-}} g(x)
= \lim_{x \to \sqrt{2}^{-}} \left( 1 + \frac{2x^3}{2 - x^2} \right)
= +\infty,
\]
bo dla \( x \to \sqrt{2}^{-} \) mianownik \( \to 0^+ \), a licznik \( 2x^3 \to 2(\sqrt{2})^3 > 0 \);
\[
\lim_{x \to (-\sqrt{2})^{+}} g(x)
= 1 + \lim_{x \to (-\sqrt{2})^{+}} \frac{2x^3}{2 - x^2}
= -\infty,
\]
bo teraz licznik \( 2x^3 \to 2(-\sqrt{2})^3 < 0 \) przy dodatnim zbliżającym się do \(0\) mianowniku.

\bigskip
Funkcja ciągła i rosnąca na \((-\sqrt{2}, \sqrt{2})\) oraz mająca granice
\(-\infty\) i \(+\infty\) przy końcach przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.
Stąd zbiór wartości to cały \(\mathbb{R}\).

\subsection*{Odpowiedź}

\[
\boxed{\mathrm{Dziedzina}(g) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2}), \qquad \mathrm{Zbiór Wartości}(g) = \mathbb{R}.}
\]